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1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象.,4.4 大数定律与中心极限定理,研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种:,下面我们先介绍大数定律,大数定律与中心极限定理,大量的随机现象的平均结果具有稳定性 .大数定律 就是研究这种规律性的命题的总称.,一 . 大数定律,大量抛掷硬币 正面出现频率,字母使用频率,生产过程中的 废品率,几个常见的大数定律,定理1. (切比雪夫大数定律),设 X1
2、, X2, 是相互独立的随机变量序列，E(Xi) 、D(Xi) 存在, 且 D(Xi) K，i=1, 2, ,切比雪夫,则对任意的0，,证明: 切比雪夫大数定律主要的数学工具是 切比雪夫不等式.,切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述,作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有下面的定理.,定理2. (独立同分布下的大数定律),设 X1, X2, 是独立同分布的随机变量 序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2, 则对任给 0,下面给出的贝努里大数定律, 是定理2的一种特例.,贝努里,设 Sn 是 n 重贝努里试验中事件 A 发生的次数, p 是事件 A 发生的概率，,引入,i=1,
3、2,n,则,是事件A发生的频率,于是有下面的定理：,设 Sn 是 n 重贝努里试验中事件 A 发生的 次数, p 是事件 A 发生的概率, 则对任给的 0，,定理3. (贝努里大数定律),或,贝努里大数定律表明，当重复试验次数 n 充分大时，事件 A 发生的频率 Sn/n 与事件 A 的概率 p 有较大偏差的概率很小.,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,任给0，,下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.,设随机变量序列 X1, X2, 独立同分布, 具有有限的数学期 E(Xi)=, i=1, 2, , 则对任给0 ，,定理3（辛钦大数定律）,辛钦,辛钦大数
4、定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.,例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如 n 块. 计算其平均亩产量，则当 n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计.,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.,大数定律在理论和实际中都有广泛的应用.,平均结果的稳定性,如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.,二 . 中心极限定理,在概率论中, 把无穷多随机变量和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理.,我们只讨
5、论几种简单情形.,定理1. (独立同分布的中心极限定理),它表明, 当 n充分大时, n 个具有期望和方差 的独立同分布的 r.v 之和近似服从正态分布.,设 X1, X2, 是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1, 2, ，则,定理. (棣莫佛拉普拉斯定理),设随机变量 Yn 服从参数 n, p (0p1)的二项分布，则对任意 x，有,定理表明, 当 n 很大, 0p1 是一个定值时(或者说, np(1-p) 也不太小时), 二项变量 Yn的分布近似正态分布 N(np, np(1-p).,例1. 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布
6、. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.,由题给条件知，诸 Xi 独立，,16只元件的寿命的总和为,解: 设第 i 只元件的寿命为 Xi , i=1, 2, , 16,E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意, 所求为 P(Y1920),由题给条件知, 诸 Xi 独立,16只元件的寿命的总和为,解: 设第 i 只元件的寿命为 Xi , i=1, 2, , 16,E(Xi)=100, D(Xi)=10000,依题意，所求为P(Y1920),由于E(Y)=1600,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920)
7、,=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,例2. 某单位有一台电话总机, 装有200台分机，设每台分机用外线的概率为0.2,且独立.问:需装多少外线才能以0.95的概率保证每台分机对外线的使用?,解: 任一时刻使用外线的分机数为X, XB(200,0.2) 由题意, 求最小r, 使得 P(0Xr)0.95,由于 n 较大, 故近似地, XN(np,npq)=N(40,32) .,P(0Xr),反查表, 得:,所以, r 49.3,因为 r 为整数, 故 r =50,当诸随机变量独立但不一定同分布时，中心极限定理也成立.,李雅普诺夫证明了,在某些非常一般的条件下,当随机变量的个数无限增加时,独立随机变量和的分布趋于正态分布.,设X1, X2, 是独立随机变量序列，E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,， 则在某些一般的条件下,具有渐近正态分布N(0,1),即,概述如下:,中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.,第四章结束 !,
