《§2.5随机变量的函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§2.5随机变量的函数的分布（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,2.5 随机变量的函数的分布,在实际应用和理论研究中，我们不仅要研究随机变量的概率分布，而且还要研究随机变量的函数的概率分布。例如，设随机变量X是车床产出轴的直径，而随机变量Y 是轴的横截面的面积，则Y 是 X 的函数,2,设随机变量 X 的分布律为,由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的 所有可能取值，则 Y 的概率分布为,离散型,3,如存在xixj,但 yi=yj，则PY=yi=PX=xi或X=xj =PX=xi+PX=xj=pi+pj 从而确定Y=g(X)的分布律。,1、若yk=g(xk) k=1,2,中任何两个值都不相等，,即 当xixj时，g(xi)g (xj) i,j=1
2、,2,则,PY=yk=Pg(x)=yk=PX=xk=pk ，k=1,2, 于是Y=g(X)的分布律为 PY=yk=PX=xk=pk k=1,2,2、若yk=g(xk) k=1,2,中存在两个或两个以上的值相等时，,4,例1 已知 X 的概率分布为,求 Y 1= 2X 1 与 Y 2= X 2 的分布律,解,例1,5,6,例2 已知 X 的概率分布为,其中 p + q = 1, 0 p 1,求 Y = Sin X 的概率分布,解,7,8,故 Y 的概率分布为,9,已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数,方法：,（1） 从分布函数出发 （2）用公式直接求
3、密度函数,连续性,10,11,12,例4 已知 X 密度函数为,为常数，且 a 0, 求 fY ( y ),解,当a 0 时，,例3,13,当a 0 时，,故,14,15,16,17,例5 设随机变量 X N ( ,2) , 试证明X 的线性函数Y = a X +b(a0)也服从正态分布.,18,即Y N ( a +b, a22 ),特别地 ，若 X N ( , 2) ,则,19,例6 X E (2), Y = 3X + 2 , 求,解,例4,20,21,22,例8 已知 X N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y),解 从分布函数出发,y,当 y 0 时，FY (y) = 0,当 y 0 时，,例5,23,故,24,例9 设 X 的概率密度函数为,解,故当 y 0 或 y 1 时,f Y (y) = 0,由图可知, Y 的取 值范围为(0,1),25,26,故,27,注意 连续随机变量的函数的分布 函数不一定是连续函数,例如 X U (0,2),令Y=g (X),FY (y)不是连续函数,
