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1、第七节 解三角形,2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况,3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图),(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位角为(如图),(3),方向角：相对于某一正方向的水平角(如图) 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向 北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向 南偏西等其他方向角类似,(4),坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图 ，角为坡角) 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比),1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若
2、a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB等于( ),【答案】 B,2在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60，则塔高为( ),【答案】 A,【解析】,【解析】 由余弦定理得a2b2c22bccosA， 即31c2c，c2c20， 解得c2或c1(舍去),【答案】 B,4.,如图，在ABC中，若A120，AB5，BC7，则ABC的面积S_.,5甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则甲船应取方向_才能追上乙船；追上时甲船行驶了_海里,【解析】,如图，设到C点甲船追上乙船， 乙到C地用了时间t，,【答案】
3、北偏东30,在ABC中， (1)若b，c1，B45，求a及C的值； (2)若A60，a7，b5，求边c.,【思路点拨】 (1)可直接使用正弦定理求解，注意解的个数的判断，也可利用余弦定理求解 (2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列出关于c的方程求解,【方法点评】 1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是根据图形或由“大边对大角”作出判断 2应熟练掌握余弦定理及其推论解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理 ，应注
4、意用哪一个定理更方便、简捷,3三角形中常见的结论 (1)ABC. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然 (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边,(4)三角形内的诱导公式 sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；,在ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，判断三角形的形状,【自主解答】 方法一： 由已知得a2sin(AB)sin(AB) b2sin(AB)sin(AB)， 2a2cosAsinB2b2cosBsinA. 由正弦定理，得 sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA， sinAsi
5、nB(sinAcosAsinBcosB)0， sin2Asin2B，由0AB， 得2A2B或2A2B， 即ABC是等腰三角形或直角三角形,方法二：同方法一可得2a2cosAsinB2b2cosBsinA， 由正、余弦定理，即得,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， 即(a2b2)(c2a2b2)0， ab或c2a2b2， 故ABC为等腰三角形或直角三角形,【方法点评】 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三
6、角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论,2已知方程x2(bcosA)xacos B0的两根之积等于两根之和，a，b为ABC的两边，A，B为两内角，试判断这个三角形的形状,【解析】 方法一：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理知：x1x2bcos A，x1x2acos B. 依题意，得bcos Aacos B.,所以b2c2a2a2c2b2，即2b22a2，即ab， 所以ABC是等腰三角形,方法二：设方程的两根x1，x2，由韦达定理及题意，得 bcos Aa cos B， 由正弦定理 ，得 2Rsin Bcos A2Rsin A
7、cos B， 即sin Acos Bcos Asin B0，sin (AB)0. A，B为ABC的内角， 0A，0B，AB. AB0，即AB，故ABC是等腰三角形,在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处( ) n mile 的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以 n mile/h 的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？,【思路点拨】,本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在D处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在B
8、CD中求BCD.,【自主探究】 设缉私船用t h在D处追上走私船，,即缉私船沿东偏北30方向能最快追上走私船,【方法点评】 1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义 2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求、再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点,3.,如图，某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船在方位角为45 ，与之相距10海里的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9海里的速度行驶，我海上救生艇立即以每小时21海里的速度前往营救，试求出该海上救生艇的
9、航向及与呼救船相遇所需时间,【解析】 设所需时间为t小时，在点B处相遇 在ABC中， ACB=120，AC=10，AB=21t，BC=9t， 由余弦定理得： (21t)2=102+(9t)2-2109tcos120，,整理得：36t2-9t-10=0， 解得：t1= ，t2= (舍去) 由正弦定理得： 所以CAB2147.所以该海上救生艇的航向为方位角6647，与呼救船相遇所需时间为小时,【答案】 D,2(2009年全国高考)在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2c22b，且sin Acos C3cos A sin C，求b.,【解析】 由余弦定理得 a2c2b22bcc
10、os A. 又a2c22b，b0，所以b2ccos A2. 又sin Acos C3cos Asin C，,sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C， sin(AC)4cos Asin C， sin B4sin Ccos A. 由正弦定理得sin B ， 故b4ccos A 由、解得b4.,(1)求sin C的值 (2)求ABC的面积,(1)求sin C的值 (2)求ABC的面积,4.,(2009年宁夏、海南高考)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如图)飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离请设计一个方案，
11、包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤,【解析】 方法一：需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角1，1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示),方法二：需要测量的数据有： A点到M、N点的俯角1、1；B点到M、N点的俯角2、2；A、B的距离d(如图所示) 第一步：计算BM.由正弦定理BM,1解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角恒等变换，解题时角度的选取是关键 2对于解斜三角形的实际应用问题，要理解题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，构造出三角形把实际问题转化为解三角形问题 3利用正、余弦定理可以进行边角互
12、化，实现边角统一，有利于判断三角形的形状 4解决三角形中的计算与证明问题，要注意以下几点： (1)用正弦定理解三角形时，要注意解题的完整性，谨防丢解,(2)要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：,sin Asin(BC)，cos Acos(BC)，sin ， sin 2Asin 2(BC)，cos 2Acos 2(BC)等 (3)对轮换对称式的化简、计算、证明，可选择其中的一部分进行运算，其他部分同理推证，其间可设大小关系 (4)对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩” (5)合理利用“比例性质”，往往可使问题简化，减少运算量,课时作业 点击进入链接,
