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1、,第九节 平面向量的基本定理及坐标表示,1两个向量的夹角 (1)定义,已知两个非零向量a和b，作 b，则AOB=叫做向量a与b的夹角 (2)范围 向量夹角的范围是 ，a与b同向时，夹角=0；a与b反向时，夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ，则a与b垂直，记作ab.,90,0180,180,2平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2，使a = . 其中，不共线的向量e1，e2，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，
2、叫做把向量正交分解,互相垂直的,有且只有,1e12e2.,(3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使axiyj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a ，其中x叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标 设 xiyj，则向量 的坐标(x，y)就是终点A的坐标，即若 (x，y)，则A点坐标为 ，反之亦成立(O是坐标原点),(x，y),(x，y),y,(x，y),3平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算,(2)向量坐标的求法 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，即一个向量
3、的坐标等于 ,(x1，y1),(x2x1，y2y1),该向量终点的坐标减去始点的坐标,(x1x2，y1y2),(3)平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则a与b共线ab 0.,1已知a(4,2)，b(x,3)，且ab，则x等于( ) A9 B6 C5 D3 【解析】 ab，122x0，x6 【答案】 B,x1y2x2y1,A(1m,7n) B(1m，7n) C(1m,7n) D(1m，7n),【答案】 B,3已知两点A(4,1)，B(7，3)，则与 同向的单位向量是( ),【答案】 A,4下列各组向量： e1(1,2)，e2(5,7)； e1(3,5)，e2
4、(6,10)； e1(2，3)，e2 . 其中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是_(填序号),【解析】 中e22e1，中e14e2，故，中e1，e2共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底 【答案】 ,5已知a(2,3)，b(1,2)，则ab所在直线的斜率为_ 【解析】 ab(1,5)，则ab所在直线的斜率为5. 【答案】 5,如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知 ，试用c，d表示 .,【方法点评】 1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基底不同，表示也不同 2对于两个向量a，b，将它们用同一
5、组基底表示，我们可通过分析这两个表示式的关系，来反映a与b的关系 3利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算 【特别提醒】 由于基底向量不共线，所以0不能作为一个基底向量,1.,已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4),(1)求：3ab3c； (2)求满足ambnc的实数m，n； (3)求M、N的坐标及向量 的坐标 【思路点拨】 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点、终点坐标的关系求解 【自主探究】 由已知得a(5，5)，,b(6，3)，c(1,8) (1)3ab3c 3(5，5)(6，3)3(1,8) (1563，15324) (
6、6，42) (2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，,【方法点评】 1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用 2向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，就可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算,2已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 .试问： (1)t为何值时，P在x轴上？在y轴上？P在第二象限？ (2)OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由 【解析】 利用向量相等建立向量的坐标间的关系
7、，再由条件求出(1)O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，,已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，k ab与a3b平行；平行时它们是同向还是反向？,【自主探究】 kabk(1,2)(3,2) (k3,2k2)， a3b(1,2)3(3,2)(10，4)， kab与a3b平行等价于,(k3)(4)10(2k2)0，解得k . 故当k 时，kab与a3b平行 此时kab ab (a3b)， kab与a3b反向,【方法点评】 (1)凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向量平行的充要条件 (2)向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供
8、了容易操作的方法解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题,3已知A、B、C三点的坐标分别是(1,0)、(3，1)、(1,2)并且 .,1(2009年重庆高考)已知向量a(1,1)，b(2，x)若ab与4b2a平行，则实数x的值是( ) A2 B0 C1 D2 【解析】 由题意知ab(1,1)(2，x) (3，x1)，而4b2a4(2，x)2(1,1) (6,4x2)(ab)(4b2a)， 3(4x2)6(x1)0，得x2，故选D 【答案】 D,2(2009年湖北高考)若向量a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则c(
9、) A3ab B3ab Ca3b Da3b 【解析】 设cab，则(4,2) 【答案】 B,3(2009年江西高考)已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_. 【解析】 ac(3k，6)，b(1,3) (ac)b，3(3k)(6)10 k5. 【答案】 5,A(1,1) B(1，1) C(3,7) D(3，7),【解析】 (1,3)(2,4)(1，1) 【答案】 B,5(2008年辽宁高考)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)且 ，则顶点D的坐标为( ),【答案】 A,1在平面向量基本定理的学习中，要注意定理的应用条件，e1、e2是
10、一组不共线向量，当基底确定后，这种表示是唯一的而对于基底的选取却不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量，都可以作为一组基底平面向量基本定理是平面向量的重要内容，它是向量运算数量化、代数化的依据，为后面的学习奠定了基础 在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多,2向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样可以将许多几何问题转化为同学们熟知的数量运算这给我们解决几何问题提供了一种新的方法向量坐标法，即建立平面直角坐标系，将几何问题用坐标表示，通过向量的坐标运算解决问题 3向量的坐标(x，y)可以理解为是一种省略，省略了单位正交基底在有些证明题中需要还原回去，即(x，y)xiyj.,课时作业 点击进入链接,
