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1、第二章 圆锥曲线与方程,23 双曲线 23.1 双曲线及其标准方程,1.了解双曲线的定义、标准方程 2掌握用待定系数法求双曲线标准方程中的a、b、c，能根据条件确定双曲线的标准方程.,新 知 视 界 1双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距,2平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支 在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|PF2|2a，曲线只表示双曲
2、线的右支 |PF1|PF2|2a，曲线只表示双曲线的左支,2双曲线的标准方程,提示：在x2，y2的系数异号的前提下，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b，因此，不能像椭圆那样用比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上,尝 试 应 用 1动点P到点M(1,0)，N(1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是( ) A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 答案：C,答案：A,4点(0,3)是双曲线ky28kx28的一个焦点，则k的值为_ 答案：1,点评 (1)本题三角形中的角的关系转化为边的关系，为利用双曲线的定
3、义创造了条件 (2)由于动点M到两定点A、B的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支这一点要特别注意！,解析：(1)由已知得|PM|PN|2|MN|， P点的轨迹是一条射线 (2)设F1(5,0)，F2(5,0)，则由双曲线的定义知： |PF1|PF2|2a8，而|PF2|15， 解得|PF1|7或23. 答案：(1)D (2)D,分析 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b的方程组，求得a，b，从而求得双曲线的标准方程注意对平方关系c2a2b2的运用,点评 求双曲线的标准方程一般采用待定系数法若明确焦点位置时，可直接设出双曲线方程，若无法判定双曲线的焦点位
4、置，分两种情况讨论，或者将双曲线方程设为mx2ny21(mn0)同时在解题时应注意方法技巧的灵活运用,如图1所示，在F1PF2中，由余弦定理，得,点评 在解决与焦点三角形有关的问题的时候，首先要注意定义条件|PF1|PF2|2a的应用其次是要利用余弦定理、勾股定理等知识进行运算在运算过程中要注意整体思想的应用和一些变形技巧的应用,类型四 双曲线实际应用 例4 如图2所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA100 m，PB150 m，BC60 m，APB60，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送
5、肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程,分析 首先确定分界线上的任一点应是沿PA，PB两条路线距离相等的点，然后再进行讨论即可,解 田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥较近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA和PB送肥一样远近由题意知，界线是第三类点的轨迹 设M是界线上的任一点， 则|PA|MA|PB|MB|， 即|MA|MB|PB|PA|50(定值) 故所求界线是以A、B为焦点的双曲线的一支,点评 有关双曲线的实际应用题，关键是审清题意，根据题目中所给的条件列出方程或等式，如果没有坐标系要先建系，再根据双曲线的定义用待定系数法可解,迁移体验4 如图3，B地在A地的
6、正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物经测算，从M到B、M到C修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( ),答案：A,思 悟 升 华 1双曲线的定义 (1)在定义中，必须是一个动点到两定点距离的差的绝对值，而不是距离的差 (2)要注意常数要小于|F1F2|，当常数等于|F1F2|时，轨迹为两条射线，当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在，在学习中与椭圆类比记忆 (3)注意常数不能为0，为0时轨迹为线段F1F2的垂直平分线,(2)无论焦点在什么轴上，a、b、c均满足c2a2b2，与椭圆要区别记忆 3双曲线标准方程的求法 (1)定义法：根据已知条件，若判断出点的轨迹为双曲线，且定值2a易求，则考虑运用定义法,(2)待定系数法：若告诉所求曲线为双曲线，则考虑运用待定系数法首先判断焦点所在坐标轴，然后设出标准方程，再找出a、b、c满足的关系式，最后解方程组即可,
