《考研数学《概率统计》讲义第四讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数学《概率统计》讲义第四讲（34页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,第四章 随机变量的数字特征, 数学期望及其性质, 方差及其性质, 协方差与相关系数,分布函数能完整地描述 r.v.的统 计特性, 但实际应用中并不都需要知 道分布函数，而只需知道 r.v.的某些 特征.,判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好;,又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度,例如：,考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.,由上面例子看到，与 r.v. 有关的 某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但 能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要 特征 ,
2、这些数字特征在理论和实践上 都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【引例1】枪手进行射击，规定击中区域I内得2分， 击中区域II内得1分，脱靶（击中区域III）得0分。,II,I,III,枪手每次射击的得分X是一个随机变量，其分布律为,现射击N次,其中得0分的有 次,得1分的有 次,得2分的有 次, 于是,射击N次的总分为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,从而,每次射击的平均分为,在第五章大数定律中可证明:当N无限增大时,频率 接近于概率 ,故当N很大时,这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算术平均 接近于,称
3、后者为随机变量X的数学期望(均值).,设 X 为离散 r.v. 其分布为,若无穷级数,其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即,绝对收敛,则称,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,试评定甲乙成绩的优劣。,解这是离散型随机变量。由数学期望定义得：,由 知：甲的成绩远胜过乙的成绩。,【例1】甲乙两人进行射击所得分数分别为X1，X2，其 分布律分别为,例2 X B ( n , p ), 求 E( X ) .,解,特例 若Y B ( 1 , p ), 则 E(Y),常见 离散型r.v. 的数学期望,设连续 r.v. X 的 d.f. 为,若广义积分,绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望
4、 记作 E( X ), 即,定义,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,求E(X)。,解这是连续型随机变量。由数学期望定义得：,分段函数的积分,【例3】(设在某一规定时间间隔里，某电气设备用 于最大负荷的时间X(分钟)是一个随机变量,其概率密度 为,例4 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .,解,区间(a,b)上的 均匀分布,E(),N(, 2),常见 连续型r.v. 的数学期望,设离散 r.v. X 的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x),绝对收敛, 则,若广义积分,设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为,Z = g(X ,
5、Y ),绝对收敛 , 则,若级数,设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为,f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ),绝对收敛, 则,若广义积分,例5 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求,的数学期望.,解,解 (1) 设整机寿命为 N ,五个独立元件,寿命分别为,都服从参数为 的指数分布，若将它们 (1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值.,例6,即 N E( 5),(2) 设整机寿命为,可见, 并联组成整机的平均寿命比串联 组成整机的平均寿命长11倍之多.,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,【例7】一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服
6、从 指数分布,其概率密度为,解这是求连续型随机变量函数的数学期望。,工厂规定出售的设备在售出一年内损坏予以调换.若工 厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费 300元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.,设售出一台设备的净赢利为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,故售出一台设备的净赢利的数学期望为,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,三.数学期望的性质,数学期望具有如下性质:设X,Y为随机变量,c为常数,则, E(c)=c;, E(cX)=cE(X);,E(X+Y)=E(X)+E(Y);, 当X,Y相互独立时,E(XY)=E(X)E(Y);,河南理工大学精品课程 概率
7、论与数理统计,解方法1(表格法)由X的分布列得:,【例8】已知随机变量X的分布列为,求X,X2,3X2+5的数学期望.,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,于是,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E(X2)=00.3+40.7=2.8;,E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.,方法2(定义+性质法),因为,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;,所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.,例6-续,河南理工大学精品课程 概率论与数理统计,E(X2)=
8、00.3+40.7=2.8;,E(3X2+5)=50.3+170.7=13.4.,方法2(定义+性质法),因为,E(X)=(-2)0.4+00.3+20.3=-0.2;,E(X2)=(-2)20.4+020.3+220.3=2.8;,所以,E(3X2+5)=3E(X2)+5=32.8+5=13.4.,例6-续,例9 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子 中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的 数学期望.,解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为,解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4,例10:一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车.如到达一个车站没有
9、旅客下车就不停车.以X表示停车的次数,求E(X).,解:引入随机变量,易知X=X1+X2+X10,任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1- (9/10)20.,即PXi=0= (9/10)20, PXi=1= 1- (9/10)20,所以,E(Xi)= 1- (9/10)20, i=1,2,10,进而,E(X)=E(X1+X2+X10) =E(X1)+E(X2)+E(X10) =101- (9/10)20=8.784,注:本题的特点是将X分解为数个随机变量的和,再求数学期望.此种方法具有普遍意义.,例11: 抛掷6颗骰子，X表示出现的点数之和，求E(X).,从而由期望的性质可得,例12设二维 r.v. (X ,Y ) 的 d.f. 为,求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X),解,由数学期望性质,
