《医用数理统计方法 课件 第一章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《医用数理统计方法 课件 第一章（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、医药数理统计方法,南京医科大学数学教研室 韩新焕,第一节 随机事件及其运算,一、随机试验（random trial） 自然界现象分为确定性现象和随机现象 在试验之前就能断定它有一个确定的结果，这类试验称为确定性试验，这种类型的试验所对应的现象，称为确定性现象.否则称为随机现象 例子,统计规律,就一次试验而言，试验结果没有规律，但“大数次”地重复这个试验，试验结果又遵循某些规律，这种规律称之为“统计规律” 如掷硬币(下表) 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科,频率的稳定性,掷硬币试验 试验者 试验次数 正面出现次数 频率 德摩根 2048 1039 0.5073 蒲丰 4040
2、 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005,随机试验(简称试验),满足下列条件： 1.试验可在相同的条件下重复进行； 2.每次试验的可能结果不止一个，但可事先明确知道试验的所有可能结果； 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。,二、样本空间,在随机试验中，它的每一个可能的直接结果，称为样本点(sample point) ，或称基本事件，一般用字母表示。 随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间(sample space)，通常用表示。 样本空间又可分为有限样本空间与无限样本空间。例：掷硬币、灯泡寿命,三、随机事件
3、(random event),样本点的某个集合叫做随机事件(事件)，通常用大写英文字母A，B，C 等表示 例:掷骰子. 样本空间=1,2,3,4,5,6 事件 A=偶数点=2,4,6 B=奇数点=1,3,5 C=点数3=1,2 D=点数4=4,5,6,三、随机事件,在一次试验中，称某个事件发生当且仅当它所包含的某一个样本点出现。,A,三、随机事件,将样本空间也看成一个事件，它包含了全体样本点，而在任何一次试验中，必然会出现其中的某个样本点，即它必然会发生，所以我们又把称为必然事件。 将空集也看成一个事件，它不包含任何样本点，由于在任何一次试验中出现的样本点都不属于 ，所以称为不可能事件。 必然
4、事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情况。,四、事件的关系和运算,事件与集合的关系(表1.1),（一）事件的关系和运算,1.包含关系: 事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B），记为BA（或A B ）。 A的每一个样本点都包含在B中,A=2,4 B=2,4,5,6,（一）事件的关系和运算,2.相等关系: 若事件A包含事件B，且事件B又包含事件A，即AB且BA，称事件A与事件B相等，记为A=B A包含的样本点与B相同 A、B图形完全重合,（一）事件的关系和运算,3.事件的并（和）: 若事件A和事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的并（或和），记为
5、AB（或A+B） A或B中所有样本点的集合,A=2,4 B=1,4,5,6,（一）事件的关系和运算,4.事件的交（积）: 若事件A和事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件B的交（或积），记为A B （或AB） A与B中相同样本点的集合 并和交可推广到多(n)个事件,B,A,A=2,4 B=1,4,5,6,（一）事件的关系和运算,5.事件的差: 若事件A发生而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件B的差，记为A-B 属于A而不属于B的样本点的集合,A,B,A=2,4 B=1,4,5,6,（一）事件的关系和运算,6.互斥关系: 若事件A与事件B不能同时发生，即A B =，则称事件A与B事件互斥（
6、或互不相容） A与B没有相同的样本点,A=2,4 B=1,5,6,（一）事件的关系和运算,7.互逆关系: 若事件A与事件B互斥，且在任何一次试验中二者必定有一个发生，即A B =且A+B=，则称事件A与事件B互逆（或相互对立）。称事件A为事件的B的对立事件， 记为 或 A与B没有相同的样本点 A或B的样本点组成样本空间 推广:完备事件组,B,A=2,4 B=1,3,5,6,（二）事件运算的基本性质,事件运算具有下面的基本性质： 1.交换律： AB=BA AB=BA 2.结合律： (AB)C= A(BC) (AB)C= A(BC) 3.分配律： (AB)C=(AC)(BC) (A B)C=(A
7、C)(B C),（二）事件运算的基本性质,4.德摩根(De Morgan)原理 例:对=1,2,3,4,5,6 A=1,2,3,4 B=1,3,5验证德摩根原理,例：设A、B、C为三个事件，则 A发生而B与C都不发生： A与B发生而C不发生： 三个事件都发生： 三个事件恰好发生一个： 三个事件恰好发生二个：,例：设A、B、C为三个事件，则 三个事件中至少发生一个： 三个事件都不发生： 三个事件中至少有一个不发生：,第二节 随机事件的概率,对于事件A，用一个数P(A)来度量该事件发生的可能性大小，这个数称为事件发生的概率。 从函数的观点来看出,概率是事件的函数, 定义域为事件,值域为一个数,事
8、件,数,一、概率的定义,定义1.1 若随机事件A在n次独立重复试验中出现了m次，此比值m/n称为事件出现的频率(frequency)，记为 fn(A)=m/n 当试验次数足够多时，频率稳定地在某个常数附近摆动，此性质我们称为频率的稳定性。,一、概率的定义,定义1.2 (概率的统计定义 ): 设在相同条件下，进行大量独立重复试验，若事件的频率稳定地在某一确定值附近摆动，称此数值为事件发生的概率(probability)，记作 P(A)=p 注:在许多实际问题中，当事件的概率不容易计算时，往往用频率近似代替概率,一、概率的定义,定义1.3 (概率的公理化定义) 设是一给定的样本空间，A为其中的任意
9、一子集，规定一个实数，记作P(A)，若满足下列三条公理： （1）非负性：P(A)0 （2）规范性：P()=1 （3）可列可加性：对两两互斥事件Ai ，有 则称P(A)为事件A发生的概率。,第三次数学危机,数学家罗素关于集合论的悖论： 设A是以一切自己不属于自己的那种集合为元素构成的集合，即若B B,则B A; 若B B, 则B A。 问：A属于自己吗？ 若A A，由定义A A 若A A，由定义A A,罗素悖论的出现引起集合论的矛盾 被称为数学上的第三次危机,第三次数学危机：集合论-悖论,1 某人：“我说的这句话是谎话。” 这句话是真话还是谎话？ 2 理发师：“我只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子
10、。” 理发师能否给自己刮胡子？,解决方法,公理化,二、概率的古典定义,有一类特殊的试验，它具有下面两个特征： （1）试验中的所有可能结果（即基本事件）只有有限个，而且是两两互斥的； （2）每个试验结果出现的可能性相同。 上述两个特征分别称为有限性和等可能性，具有这两个特征的试验称为古典概型,二、概率的古典定义,定义1.4(概率的古典定义 ): 设古典概型的所有基本事件有n个，事件A含有其中的m个基本事件，则定义事件的概率为： P(A)=m/n 所以：0P(A)1 P()=0 P()=1,二、概率的古典定义,例 10个产品中有3 个次品。 （1）不放回从中取3次，求取到3个次品的概率。 （2）有
11、放回从中取3次，求取到3个次品的概率。 解：设事件A=取到3个次品 （1）N=10*9*8，M=3*2*1 P(A)=M/N=0.0083 （2）N=10*10*10，M=3*3*3 P(A)=M/N=0.027,例：n封信随机投入N（n)个邮筒中， 求: (1) 指定的n个邮筒中各有一封信的概率 (2) 任意的n个邮筒中各有一封信的概率 哪一个概率大？,第三节 概率的基本运算法则,概率的计算有时较困难, 概率的基本运算法则可 化繁为简 化难为易.,一、概率的（狭义）加法公式 定理1.1 设A、B是两个互不相容的事件， 则 P(A+B)=P(A)+P(B) 推论1 有限个两两互斥的事件Ai，则
12、 P(A1+A2+An ) =P(A1 )+P(A2 )+P(An ) 推论2 互不相容完备事件组的各事件 概率之和为1,推论3 互相对立的两个事件的概率之和为1， 即 或,A,例 设50支针剂中有3支不合格品，今从中任意取4支，求其中不合格品数不少于2支的概率。 解 设A表示“取出的4支针剂中的不合格品数不少于2支”，Ai表示“取出的4支针剂中的不合格品数为i支”(i=0,1,2,3)；显然A=A2+A3，且A2A3=,例 袋中有4只黑球和1只白球，每次从袋中任意取出一球，并换入一只黑球。连续进行，问第三次取出的是黑球的概率是多少？ 解 设A表示“第3次取出的是黑球”，计算复杂 对立事件为“
13、第3次取出的是白球”。计算简单。 袋中只有一只白球，而每次换入的都是黑球，因此，如果某一次取出白球，那么以后各次就只能取到黑球。所以，事件 相当于第1次、第2次都取到黑球，而第3次取到的是白球。样本空间包含的样本点个数为53， 包含的样本点个数为421，所以,定理1.2 狭义减法公式 若有事件A与B，其中 则 P(A-B)=P(A)-P(B) 证：由于 所以然 A=（A-B）B 且 （A-B）B= 从而 P(A)=P(A-B)+P(B) 思考：如何用文图记忆公式,定理（补充） 广义减法公式 设事件A与B为任意两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB) 证：由于 所以 P(A-AB)=P(
14、A)-P(AB) 又 A-B=A-AB,定理1.3 广义加法公式 若事件A与B为任意两个事件，则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 证： A B = A（B-AB） 且 A（B-AB）= 思考：AB=的情况 如何用文图记忆公式 推广： P(A+B+C ) =？,例12 袋中装有2个红球，3个白球，4个黑球，从中每次任取1球，并放回，连续取两次，求取得的两球中无黑球或无红球的概率。 解 设A表示“取得的两球中无红球”， B表示“取得的两球中无黑球”， 则AB表示“取得的两球为白球” 从而 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB）,二、条件概率与概率乘法公式,在已知事件B发生的条件
15、下，求事件A发生的概率，这类问题就是条件概率（conditional probability)问题，记作P（A|B）。,1. 条件概率,例 玩具厂有职工500人，男女各半，男女职工中非熟练工人分别有40人与10人。现从该厂职工中任意选取一人，试问： （1）该职工是非熟练工人的概率是多少？ （2）若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率是多少？ 分析：记A=选出的工人是非熟练工人 B= 选出的工人是女职工 问题（1）是一般的古典概型问题 问题（2）是条件概率,定理1.4 在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率等于事件A与事件B同时发生的概率与事件B发生的概率之比，即 P（A|B）=P(AB)/P(B) 注：文图说明,A,B,例 求 P(A),P(B),P(C),P(B|A) P(A|B),P(C|A),P(AB),P(AC) 解: P(A)=80/100 P(B)=20/100 P(C)=40/100 P(B|A)=12/80 P(A|B)=12/20 P(C|A)=32/80 P(AB)=12/100 P(AC)=32/100,P(AB)与P(A|B)的区别,P(AB)考虑的样本空间是
