《赵树嫄微积分第四版第八章 多元函数微积分(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赵树嫄微积分第四版第八章 多元函数微积分(1)（123页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,第八章 多元函数微积分,2,前面几章讨论的函数都只有一个自变量，称一元函数。但在实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题。本章将在一元微积分的基础上，讨论多元函数的微分法和积分法，主要讨论二元的情况。,3,第一节 空间解析几何简介,(一)空间直角坐标系,1、坐标系的建立,在空间中取定一点O，,定点,横轴,纵轴,过O点作三条相互垂直的数轴Ox, Oy, Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系。,称O为坐标原点，,竖轴,称数轴Ox, Oy, Oz为坐标轴，,坐标轴确定的平面为坐标平面
2、，简称xy, yz, xz 平面.,称由两,4,(一)空间直角坐标系,1、坐标系的建立,定点,横轴,纵轴,竖轴,第一节 空间解析几何简介,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,即以右手握住 z 轴，,当右手的四个手指,度转向 y 轴正向时，,大拇指的指向就是,z 轴的正向。,从 x 轴正向以 角,5,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,6,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,一个分量为零: 点在坐标面上.,两个分量为零: 点在坐标轴上.,7,(二)空间两点间的距离,为空间两点,两点间的距离公式：,8,例1 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和
3、B(3, 5, 2)等距离的点.,设该点为M(0, 0, z) ,由题设 |MA| = |MB| ,即,解得,即所求点为,解,9,(三)曲面与方程,定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) = 0 有如下关系:,(1) S上任一点的坐标都满足方程F (x, y, z) = 0 ；,(2)坐标满足方程F (x, y, z) =0的点都在S上；,那末, 方程 F (x, y, z) = 0 叫做曲面S的方程，而曲面 S 叫做方程 F (x, y, z) =0 的图形。,10,例2,解,根据题意有,化简得所求方程,11,M,R,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,球面方程：,
4、12,例3,解,即,因此，球心为(1,-2,3)，半径为R = 4 .,13,常见的空间曲面：,1 平面,平面的一般方程：,其中 A,B,C 不全为零.,例如：,14,常见的空间曲面：,1 平面,平面的一般方程：,其中 A,B,C 不全为零.,例如：,15,2 柱面,定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。,这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。,16,例4 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面。,在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆。,曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆 x2
5、 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面。,17,例5 画出下列柱面的图形：,抛物柱面,平面,18,例6 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,解,斜率为1的直线,19,3 二次曲面,三元二次方程,所表示的曲面称为二次曲面，,二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式。,20,用坐标面z = 0 , x = 0和y = 0去截割,分别得椭圆,(1) 椭球面,21,(2) 单叶双曲面,(3) 双叶双曲面,22,(4) 椭圆锥面,特殊情况：,-圆锥面.,23,(5) 椭圆抛物面,旋转抛物面,24,(6) 双曲抛物面(马鞍面),25
6、,(一) 多元函数的定义,第二节 多元函数的概念,类似地可定义三元及三元以上函数。,多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念。,26,例1,设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，,则长方形的体积,例2,在西方经济学中，著名的CobbDouglas,生产函数为,L 0，K 0 分别表示投入的劳力数量和资本数量，,y 表示产量。,当 K, L 的值给定时，y 就有一确定值与,之对应，因此称 y 是 K, L 的二元函数。,这里 为常数，,27,(二)二元函数的定义域,平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集，,例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合可表示为,记作,28,
7、平面区域：,不包含边界的区域称为开区域。,例如，,例如，,平面区域是由一条或几条曲线(或直线)所围成的平面的一部分。,包含边界的区域称为闭区域。,29,30,解,所求定义域为,例3,31,(三)二元函数的几何意义,二元函数的图形通常是一张曲面。,32,再如,图形如右图.,例如,球面.,单值分支:,33,(一)邻域,第三节 二元函数的极限与连续,34,(二) 二元函数的极限,定义,35,证,证明,证毕,例4,恒有,无穷小乘以有界变量仍为无穷小。,36,例5,在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用。,37,例6,求,解,由基本不等式,知,由夹逼定理，,38,(三) 二元函数的连续
8、性,定义,一切二元初等函数在其定义域内都是连续的。,例如，,内连续.,39,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。,例7,所以对多元初等函数来说, 可以用“代入法”求极限.,例8,40,有界闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。,在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,41,第四节 偏导数与全微分,(一) 偏导数,或,处对x的偏导数，记为,42,偏导函数：,或,2. 偏导数的概念可以推广到二元以上函数。,说明：,1. 偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题；,4
9、3,解,例1,44,证,所以原结论成立,例2,45,解,例3,46,解,例4,47,偏导数的几何意义,得的曲线,48,(二) 高阶偏导数,混合偏导数,49,解,例5,50,例6,解,求二阶偏导数。,以后如无特别说明，均假定如此。,51,解,例7,52,利用函数的对称性，可知,所以,53,(三) 全微分,回顾：,能表示成,实际上,即,54,二元函数的可微性和全微分：,定义,如果可以表示为,55,事实上,即,证明,可微 连续,56,证,同理可得,可微 可偏导,定理1,57,注：可偏导不一定可微，见下面反例。,所以,58,定理2,这个定理给出了二元函数在一点处可微的充分条件，证明从略.,上述定理均不
10、可逆。,59,多元函数连续、可导、可微的关系,60,全微分的计算公式：,二元函数的微分法则：,61,解,例8,62,例9,解,63,全微分在近似计算中的应用,64,例10,解,所以,精确值,65,解,例11,66,第五节 复合函数的微分法 与隐函数的微分法,(一)复合函数的微分法,链式法则如图示,定理1,67,第五节 复合函数的微分法 与隐函数的微分法,(一)复合函数的微分法,链式法则如图示,定理1,68,定理2,称为全导数。,特别地，有,69,解,例1,70,解,例2,71,解,例3,72,解,例4,或由对称性可知，,73,证,例5,所以,记,74,解,例6,75,解,例7,76,77,78
11、,解,练习,79,(二)一阶全微分的形式不变性,回顾：,结论：,此性质称为一阶微分的形式不变性。,80,(二)一阶全微分的形式不变性,可以证明，,仍有公式,这就是说，不论 x, y 是自变量还是中间变量，其微分形式不变，称为一阶微分的形式不变性。,81,解,例8 利用全微分形式不变性，求下列函数的偏导数。,82,解,83,(三)隐函数的微分法,1. 一元隐函数求导法,一元隐函数存在定理,84,推导：,等式两边对 x 求导，,85,例1,解法1,所以,86,方程两边关于 x 求导，得,解得,例1,解法2,87,练习,解,所以,88,2.二元隐函数求偏导法,二元隐函数存在定理,89,推导：,90,
12、例2,解法1,所以,91,方程两边关于 x 求偏导数,例2,解法2,方程两边再关于 y 求偏导数,92,方程两边求微分,例2,解法3,解得,从而,93,练习,解,所以,94,例3,解,方程两边关于 x 求偏导数,代入上式得,求,95,例3,求,解,方程两边关于 y 求偏导数,96,第六节 二元函数的极值,(一) 二元函数的极值,极大值、极小值统称为极值。,使函数取得极值的点称为极值点。,97,例1,例2,例3,98,极值的判定,（称驻点）,驻点,极值点,注意：,定理1（必要条件）,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,99,定理2（充分条件）,100,例4,解,无极值,极大值,驻点,30,10
13、1,练习,解,无极值,极小值,极大值,无极值,驻点,-5,31,102,二元函数的最值：,若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值)，而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点，则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点。,例5 设生产某种商品需原料 A和 B，设A的单价为2，数量为 x；而 B 的单价为1，数量为 y，而产量为,解,且商品售价为 5 ，求最大利润。,利润函数为,103,令,解得唯一驻点,唯一驻点为极大值点，,即为最大值点，,最大利润为,104,解法1,例6,因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，,105,因驻点唯一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，,例6,解法2
14、,106,练习,解,利润函数为,由实际问题，价格分别为80，120时利润最大，最大利润为605.,107,例7,解,108,令,109,(二)条件极值与拉格朗日乘数法,例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.,解,即表面积最小.,代入目标函数,化为无条件极值问题：,110,内部唯一驻点,且由实际问题 S 有最小值，故做成立方体表面积最小.,这种解法的缺点：,1. 变量之间的平等关系和对称性被破坏；,2. 有时隐函数显化困难甚至不可能。,111,拉格朗日乘
15、数法：,引入拉格朗日函数,令,若这样的点唯一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。,112,则构造拉格朗日函数为,令,113,例8 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,解,由实际问题,即为最小值点.,114,例9,解,解得唯一驻点,即做成正三角形时面积最大。,115,三角形中,以正三角形面积为最大：,四边形中,以正方形面积为最大：,五边形(正)：,圆：,最大,116,例10,解,目标函数,约束条件,117,118, 点到平面距离公式,119,例11,解,120,由,由实际问题，此即最佳分配方案。,121,例11,或解,由,由实际问题，此即最佳分配方案.,122,解,例12 某厂生产产量分别为 x 和 y 的两种产品，总成本,需求函数分别为,利润函数,约束条件,123,解得唯一驻点,由实际问题，此时利润最大，,
