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1、高 等 数 学 -同济六版上册,前言： 一、学习高等数学的重要意义,3. 数学带给人美的享受（严谨美，和谐美，对称美，奇异美，）,二、数学、初等数学、高等数学,1. 数学：研究“数” 和 “形”的科学,2. 初等数学： 17世纪以前的数学。研究的“数”是常数或常量；研究的“形”是孤立的，不变的，规则的几何形体。(又称为常量数学),3. 高等数学： 17世纪以后的数学。研究的“数”是变数或变量；研究的“形”是连续的，变化的，不规则的几何形体。（又称为变量数学）,三、高等数学主要内容, 函数、极限、连续, 一元函数微分学, 一元函数积分学, 常微分方程, 向量代数与空间解析几何, 多元函数微分学,
2、 多元函数积分学, 无穷级数,四、怎样学习高等数学,五、具体要求：,六、参考书:,1.重视每一节课.,2.独立完成作业,微积分同济大学编 高等教育出版社 高等数学辅导陈文灯主编,七、课时安排,考核形式：平时作业、考勤和期末考试；,结构：平时作业：10%； 考勤：10%； 期末考试：80%；,八、考核成绩,总课时：180学时；90学时+90学时,第一章,数学分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,一、集合,第一节 映射与函数,二、映射,三、函数,一、集合,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,例如,数
3、集的补充规定：,中排除 0 的集,中排除 0 和负数的集,常用数集:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,1）、基本运算：,并集：由所有属于A或者属于B的元素组成 的 集合，记作AB。,交集：由即属于A又属于B的元素组成的集合，记作AB。,差集：所有属于A而不属于B的元素组成的 集合，记作AB,补集：称集合I为全集，称IA为A的余集或 补集。,直积（笛卡尔乘积）：,特例:,记,为平面上的全体点集。,2、集合的运算,交换律：ABBA，ABBA；,结合律：（AB）CA（BC），,分配律：（AB）C（A
4、C）（BC），,对偶律：（AB）CACBC，,（AB）CA（BC）；,（AB）CACBC；,2）、集合的并、交、补运算满足下列法则：,（AB）C（AC）（BC）；,3.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,（1）有限区间：,（2）无限区间：,区间长度:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,注：以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单的称它为“区间”，且常用 I 表示.,4.邻域:,二、映射,f,1. 映射的概念,设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使得 对X中的每个元素x，按法则 f ,在Y中有唯一
5、确定的 元素y与之对应，则称 f 为从X到Y的映射。记作,定义：,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,X x,Y y,1、构成映射必备的三要素：,2、 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 ., 对应法则 f 是对每个xX，有唯一确定 的y = f (x)与之对应。, 值域范围 Df Y;, 定义域 Df = X；,注意：,对映射,若, 则称 f 为满射;,若,有,则称 f 为单射;,若 f 既 是 满 射 又 是 单 射,则称 f 为 双射 或一 一映射.,满射：,单射：,X (数集 或点集 ),在不同
6、数学分支中有不同的惯用,X ( ),Y (数集),f 称为X 上的泛函,X ( ),X,f 称为X 上的变换,R,f 称为定义在 X 上的为函数,映射又称为算子.,名称. 例如,说明:,1）、逆映射的定义,定义:,若映射,为单射,则存在一新映射,使,习惯上 ,的逆映射记成,例如, 映射,其逆映射为,其中,称此映射,为 f 的逆映射 .,2、 逆映射与复合映射,定义：,设有两个映射,其中,，,则由映射g和f 可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每 个,映成,显然，这个对应法则确定了一个从X 到Z 的映射，这个 映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射，记作,即：,2）、复合映射,三、函数的概念,
7、因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,1、函数概念,定义域与对应法则.,说明：,当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的.,(1)函数的两要素:,(2)定义域及其求法： 有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用 算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是自变量,所能取的使算式有意义的一切实数值.（自然定义域）,练习&作业：P21，4、15,练习&作业：P21，5,有界,1)函数的有界性:,3、函数的性质,说明：,(3)当一个函数有界时，界不唯一；,(1) 函数有界与否与X有关，是局部概念；,(2) 函数有界的充分必要条件是既有上界又有下界，表现在函数图像
8、在两平行线之间。,但最小上界和最大下界是唯一的；,本部分练习&作业：P42，6、7,2)函数的单调性:,定义：,设函数f(x)的定义域为D，,区间,如果对于,恒有,则称函数f(x),在区间I 上是单调增加（或减少）的。,单增单减函数统称为单调函数。,有界性和单调性都是局部概念。,说明：,(1)单调性与定义区间I 有关，也是局部概念；,(2) 单调函数图像特点：增：上升；减：下降。,(3) 判断方法：定义法；图像法；导数法。,本部分练习&作业：p21，7、8,3)、函数的奇偶性:,偶函数,设D关于原点对称，,对于,有,则称f(x)为偶函数.,有,则称f(x)为奇函数.,奇函数,解,所以，它是奇函
9、数.,例3 判断下列函数的奇偶性,解,所以，它是奇函数.,所以，它是偶函数.,例4 判断下列函数的奇偶性,本部分练习&作业：p21，9（重点记结论）、10,4)、函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,定义：,并非每个周期函数都有最小正周期.,奇偶性，周期性都是对整个定义域而言的，是整体概念.,本部分练习&作业：p22，11,4、常见函数类型,（1）反函数,直接函数与反函数的图形，,关于直线 y=x 对称.,直接函数,反函数,注意：,(1)求反函数的步骤：,由y=f(x),分离,定义域,交换x,y,(2),反函数存在定理：,本部分练习&作业：p22，12,（2）、复合函数,
10、设y是u的函数y= f(u)，而u又是x的函数,定义：,且(x)的值域是f(u)的定义域的子集,y = f (x)叫y= f(u)与u=(x)的复合函数.,注意:,1)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,u=(x),则函数,x:自变量,u:中间变量,y:因变量.,如：,复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2),必须分解为自变量的简单函数才算完成.,如：,如：,分解方法:从外到里.,注意：,分段函数指的是一个函数，而非几个函数.,（3）、分段函数,几个特殊的分段函数举例,1) . 绝对值函数,2) . 符号函数,例6,解,例5,解,本部分练习&作业：p22，16,解,综上所述,例7,（4）、初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,1)、基本初等函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数,反三角函数,统称为基本初等函数.,是常数),2)、初等函数：,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和,定义：,如：,有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子,表示的函数,称为初等函数.,（5）、幂指函数,（6）、隐函数,（7）、参数方程确定的函数,（8）、积分上限函数函数,函数的四则运算,例9 设,且,求,及其定义域.,解,又,则,则,要使,定义域为,1、函数的基本性质：,2、复合函数的合成与分解,3、基本初等函数和初等函数,小结,
