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1、,3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示,共线向量定理:,复习：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐标表示,回 顾,平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示（平面向量基本定理），那么，对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？,Q,P =xi+yj+zk,探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？,任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,空间向量基本定理：,如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使,都叫做基向量,空间向量基本定理,定理,其中a，b，c叫做
2、空间的一个基底. （不共面且非零）,（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。,特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确：,（2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。,（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。,推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。,（1）如何在剧院中寻找自己的座位？,(2) 如何确定住户在小区中的位置？,一、空间直角坐标系
3、,一般地：,在空间取定一点O,从O出发引三条两两垂直的射线,选定某个长度作为单位长度,(原点),(坐标轴),O,x,y,z,1,1,1,右手系,坐标轴,原点,由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。,x，y轴确定的平面记作xOy平面,y，z轴确定的平面记作yOz平面,x，z轴确定的平面记作xOz平面,在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分： xOy平面、z轴的正半轴所在部分，z轴的负半轴所在部分.,同样，xOz平面、yOz平面也把空间分别分为三个部分,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,2、空间直角坐标系的划分,P1,P2,P3,y,x,z,3、空间中点的坐标,对于空间任意一点P，要求它
4、的坐标,方法一：过P点分别做三个平面垂直于x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个数值叫做P点的x坐标,y坐标,z坐标。,P点坐标为 (x,y,z),P0,x,y,z,方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴上的坐标z就是P点的z坐标。,P点坐标为 (x,y,z),P1,注意：在建立了空间直角坐标系后，空间中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了 一一
5、对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)。三个数值x、y、z分别叫做P点的x坐标、y坐标、z坐标。,小提示：坐标轴上的点至少有两个坐标等于0；坐标面上的点至少有一个坐标等于0。,(0,0,0),(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z),4、特殊位置的点的坐标,(+,+,+),5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号,(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,-),(+,-,-),卦限图,卦限图,平面直角坐标,例题：,y,A,B,D,E,F,1、在空间直角坐
6、标系中描出下列各点，并说明这些点的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0）,A1(1,4,0),A(1,4,1),(2,-2,0) B1,B (2,-2,-1),(-1,-3,0) C1,(-1,-3,3) C,2、在空间直角坐标系中作出下列各点 (1)、A（1,4,1）； (2)、B（2,-2,-1）； (3)、C（-1,-3,3）；,例1：如图,例2：在空间直角坐标系中标出下列各点： A（0，2，4）B（1，0，5） C（0，2，0）D（1，3，4）,结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1
7、/2的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角 坐标系 后， 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。,例3：,练习1：,点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足 下列条件的点的坐标,(1)与点M关于x轴对称的点,(2)与点M关于y轴对称的点,(3)与点M关于z轴对称的点,(4)与点M关于原点对称的点,(5)与点M关于xOy平面对称的点,(6)与点M关于xOz平面对称的点,(7)与点M关于yOz平面对称的点,(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z),(-x,-y,-z),(x,y,-z),(x,-y,z),(-x,y,z
8、),关于谁对称谁不变，其余都相反,练习2,正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10，建立恰当的空间 直角坐标系 (1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点坐标 (2)写出棱PB的中点M的坐标,练一练,在空间直角坐标系中描出下列各点，并指出各点所在的位置： A（0,3,1）, B（0,0,5）, C（0,3,0）,在空间直角坐标系中作出下列各点： (1)、（ -1,-4,1 ）； (2)、 （ -3,3,4 ）；,小结：,空间直角坐标系,1、空间直角坐标系的建立(三步),2、空间直角坐标系的划分(八个卦限),3、空间中点的坐标(一一对应),4、特殊位置的点的坐标(表格),5、点P在各卦限中x、
9、y、z坐标的符号(表格),空间向量运算 的坐标表示, 则,设,一、向量的直角坐标运算,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则,空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.,二、距离与夹角的坐标表示,1.距离公式,（1）向量的长度（模）公式,注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。,在空间直角坐标系中，已知 、 ，则,（2）空间两点间的距离公式,2.两个向量夹角公式,注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。,解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则,例1 如图, 在正方体 中， ，求 与 所成的角的余弦值.,证明:,设正方体的棱长为1,建立如图的空间直角坐标系,小结： 1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键： 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。,
