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1、第一章：计数原理（补充）,1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1.2：排列与组合,加法原理和乘法原理,问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。,9.1 加法原理和乘法原理,2. 如图,由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去C
2、村，共有多少种不同的走法?,A村,B村,C村,北,南,中,北,南,分析: 从A村经 B村去C村有2步, 第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 2 = 6 种不同的方法。,1、分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法在第n类办法中有mn种不同的方法.那么 完成这件事共有 种不同的方法.,2、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有 种不同的方法.,两个
3、计数原理,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”,区别1,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,区别2,区别3,每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。,各类办法是互相独立的。,各步之间是互相关联的。,1.2：排列与组合,排列：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。,排列数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的
4、个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示.,排列数公式：,其中：,1.2：排列与组合,组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。,组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.,组合数公式：,其中：,判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.,排列组合典型例题,排列组合应用题的常用方法,1、基本原理法,2、特殊优先法,3、捆绑法,4、插空法,5、间接法,6、穷举
5、法,1对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： 某些元素不能在或必须排列在某一位置；某些元素要求连排（即必须相邻）；某些元素要求分离（即不能相邻）；,2基本的解题方法： （）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素,特殊位置优先安排策略,（）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略,（）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略,例：有4个男生和3
6、个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法： （1）男甲排在正中间； （2）男甲不在排头，女乙不在排尾； （3）三个女生排在一起； （4）三个女生两两都不相邻；,相邻问题，常用“捆绑法” 不相邻问题，常用 “插空法”,例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） （A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种,分组问题,问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？,问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？,问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？,平均分成m组要除以,分配问题,问题1：
7、3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？,问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？,问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？,多个分给少个时，采用先分组再分配的策略,练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?,解: (1),(2),分配问题,问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？,问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？,问题2：4本书分给两个同学，每人至
8、少一本，有多少种放法？,多个分给少个时，采用先分组再分配的策略,例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?,分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理. 解:采用“隔板法” 得:,练习： 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？,2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？,混合问题，先“组”后“排”,例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品
9、为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种可能。,练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.,解：采用先组后排方法:,2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.,例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许
10、同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,涂色问题,解法一: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 11 = 6 种。,解法二: 3种颜色4块区域，则肯定有两块同色，只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所以涂色的方法有：,例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
11、,若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？,涂色问题,例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种.（以数字作答）,涂色问题,2、将种作物种植在如图所示的块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以数字作答）,1、如图，是5个区域，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些区域，使每个区域涂一种颜色，且相邻的区域涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？,课堂练习：,1.3：二项式定理,一般地， 展开式的二项式系数 有如下性质：,（1
12、）,（2）,（4）,（对称性）,1.3：二项式定理,赋值法,2.化简： .,3. 展开式中含x3项的系数为_。,1820,4. 的展开式中，第五项与第三项的二项式系 数之比为14：3，求展开式的常数项,1,5. 展开式的二项式系数之和为128、那么展开式的项数是 ；各项系数之和为：,1、计算0.9973 的近似值（精确到0.001）,0.9973= (1-0.003)3 =130.003+30.00320.0033 130.003 =0.991,近似计算问题,练习：求2.9986的近似值（精确到小数点后第三位）；,2.9986=(3-0.002)6 =366350.002+15340.002220330.0023+ 366350.002+15340.0022=7292.916+0.00486 726.089,求：112004被10除的余数。,余数与整除问题,练：5510被8除的余数. 5710被8除的余数.,求证：5555+1能被8整除；,因为5555+1=(561)55+1=56M1+1=56M,所以5555+1能被8整除.,余数与整除问题,求证：42n+1+3n+2能被13整除；,42n+1+3n+2=416n+93n =4(13+3)n+93n =413M+43n+93n =413M+133n,所以42n+1+3n+2能被13整除.,求值、等式与不等式证明问题,求证：,
