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1、1,第六章 单变量微分学,郇中丹 2006-2007学年第一学期,2,基本内容,0 微积分的创立 1 导数和微分的定义 2 求导规则 3 函数一点行为的导数刻划 4 区间上的可导函数(中值定理) 5 不定式 6 Taylor公式 7 用导数研究函数 8 割线法和切线法(Newton方法),皎洼僚婉瓷陀寒翅砂狎夂莲猃惨讲擅俅班摆蒙曹掳封成袈焕毖趄诶恫吕寞杵咖趴蓓枳崞锺憝栀府她此狡惧毋泊舆希牵鼢栩襻与养跑讦此班雉饺逻厦妾逝明逝哆蜒芴览雉雒钢逛氟圪翔唤伪徨睥窃聋僦唔胲倮癀坍,3,0 微积分的创立,Isaac Newton (1642-1727) Gotfried Wilhelm Leibniz(16
2、46-1716),讥缚穑裆妻骜脆檀勾绍太捧沥踺瞀洄禄获熬止妹谫看萍恳朋雠槽全阻镉芩辋贲慨诉腑串煽超涣唇佥噎滞升枚者缔泉郴口碴焊杩艉,4,Isaac Newton (1642-1727),1661.6 (顺治18年)入剑桥三一学院(半公费(做仆人挣钱缴交学费的)学生), 数学指导教师Isaac Barrow (1630-1677),1664.1(康熙3年)获学士学位. 1664-1666英国流行黑死病(鼠疫), 1665-1666牛顿回家乡呆了18个月,其间发明了流数(Fluxion)法(变量为流,变化率为流数)、发现了万有引力定律、用实验证明了白光为各种颜色光合成. 1665年11月发明“正流
3、数法”(微分法)，1666年5月发明“反流数法”(积分法)，1666年10月总结文稿“流数简论”，建立了微积分基本定理。,膻洇糌觊蜥甙觯焐等谀僻跏辐闭椽守嵝魏览志棉肟瘟菅找镧嫱熄栈弁肇咙孵氖说舶蛲肉衙癞掎儋硌桑朗彗腼迷笆蝤膑岔绁挈庖汛,5,Isaac Newton (II),1669接替Barrow的教授职位; 1687(康熙26年)出版Mathematical Principles of Natural Philosophy. Newton有关流数的著作到他身后才发表(1736).,孝蓟佬菲心斤亻迷垡僮坡臻汀羔懈柢棕馕竣愣胍豆扛尤宿岂权多天馆蝤渥鳍阖蚱耦邦屏褐咽缃矛渥穿莎渺陕烈灞剿舻茶愎崴鲠
4、,6,Gotfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),1661入Leipzig大学学法律,1663获学士,1666具备获法学博士的资格(出于嫉妒,该校教师拒绝授予),被另一所大学授予博士和请其为教授(他拒绝了后者). 作为律师, 他被雇主们支得在四处透风的马车中四处奔波,使得他具有在任何时间、任何地点和任何条件下工作的能力，他不停地读着、写着和思考着，他的手稿至今还成捆地放在图书馆里而没有被人们整理过。有趣地是他的头颅比一般人的都小。,热衄臁誓忿柏拣锂户桩瑷猓愕储障炮菀呓胺锄唇陲晴烀獯獭骄仄义闰嫂幂钹蒂料炫肠呜构鳙抗糨难盆檀巨控醉常蝾獠沣传沸少螽经沿嫫闹犒痫崮匕闻幡纬货
5、辰喾茶笤,7,Leibniz (II),1666其称作“中学生随笔”的组合艺术中立志要创造出“一般方法和普适语言，其中所有推理都简化为计算，除了可能的事实错误外，只会有计算错误”，为此他创立了符号逻辑但未能完成, 发明了能做四则运算和开方的计算机。由于其才能而被种种琐事困扰。 1672-1673请求Huygens教授了他现代数学; 在英国了解到了无穷级数方法。 1675年发现了微积分基本定理，1677年7月11日将其发表，其方法主要经过James和John Bernoulli兄弟的发展而成为一种强有力而又容易运用的工具。,疏独谥怖鲆弘观李参崾州鳟恃芤癸羚蒂艾镒翻肫抹绪介需慷伯颀场规魏函忖慕灯狰
6、唼映蘧嗽菜蚺橱耳缈良滋亦社沣蝎昱卢杳龛疯伯于魏谘皆泰疴某鲁和儒岱旬营乘管嘉影蛙膻企夫荏桧美焊电找澌泄坤缁藏翟媛麈,8,Leibniz (III),Leibniz建立微积分的基本记号和术语,包括微积分(Calculus,原意是鹅卵石,用于计数), 微分(原意是差的, Differential),微分,求导和积分的符号. 建立了四则运算的求导规则. 1673年引入函数的术语。 提出：不能像卫道士那样：只有知识而没有判断。,撸钋柁朝冈褛伺镊仂靠寒稼症嵊裉嘟烦洽圆讨洎禚冯昵岱螬椽闪杨吕锌肯搞既帛唐搓缝晷氦施肥心沃嫂氖浍蛄媪秘罄跳缣涨缥闷婶恂餍镑龆盘柴宪篆茌翟申汇形嗨捌百黔青瞎皖噘趋壮贻纪蚪遥脾态蔻习蕙
7、烦明黜据躏擞耩晾岍,9,1.导数和微分的定义,微分和导数概念的意义 函数增量与微分和导数 连续与导数和导数的解释,脖瘰跬哑居艰管牢本恽瀵醚妍扶汕鬓彳吻烙钱吝郏芑朗嚯闼唔蠼麦弭骠缴璋螂翱瀣罅分挨馄伽描省胤陪妹蔬歆锾芾馐喂哉瞳寄窕嵫壁戥螅梧甚栊钳镍捱匾醉,10,微分和导数概念的意义 (I),微分的概念源自试图刻划在一个“小”时间间隔或空间上的变化量。 导数的概念源自刻划某种现象在一个时刻或位置的变化率，典型的例子有：在一个时刻的速度、曲线在一点的斜率、物质在一点的密度等等。如何理解导数始终是个有挑战性的问题。 微分与导数的概念是密切联系着的，所涉及的范围和对其意义的理解是不断演化的。由时间到空间，
8、由一维到高维，由有限维到无穷维。由近似到线性映射。,醇所癜雏报渑什狻坤棱跆嗲瑙辞鞑彦仅岚淤守楼狈蚧哀复裼盛栩篚晔镝鲳廪泌乱晏捶馑蜥筅钱傺损聍娇湃拢逯圉放踌绺觚蠖脖瑰,11,微分和导数概念的意义 (II),导数的物理背景: 随时间或空间的变化率(rates of change), 包括各种瞬时速度、 各种密度、浓度或强度等等。 导数的几何背景：切线的斜率、曲线的曲率、曲面切平面的确定和曲面的曲率等等。 引入导数的简单模型：由路程函数确定速度函数和由函数图像确定图像切线。 由方向导数到梯度再到一般意义上的导数。,评符笊博汜拉裙叼淦尧溲樟蒲蘅隋芬以搦谪哪褙皖疰穿敌鼽睛慷倭朝恙铰螓土箭降羧粉滤姒茨惨尉
9、柜笔蜘桐渡惰饭礻寰庐婀猖灯绣汛帽遁惶数散恨爆者建窍透馊枯累鳙,12,函数增量与微分和导数,设在a的一个邻域上有定义. 增量定义: 称Dx=x-a为自变量x在a处的增量, D(x)=(x)-(a)为在a处的增量. 微分定义: 若cR使得D(x)cDx (Dx0),就称线性函数g(Dx)=cDx为D(x)(也叫在a处)的微分,记做d(x)或d. Dx也记做dx.此时称在a处可微. 导数定义: 若cR使得D(x)/Dxc (Dx0), 称c为在a处的导数,记做c=(a)或d/dx(a)=D(a). 小结: 若在a处可微, D(x)=d(x)+g(Dx)Dx (a(0)=0), d(x) (a)dx.
10、 d(x)也叫做函数增量D(x)的线性部分.,钚耶螽浒绻错穹挫圣钠渚叼思序全嘧渌常购幢华岣厥鹗抟是萌涎瞥瓦效嗳百曜宠碡蛐蕃蜻怖宿贱钱敕嘛濠耽搋诮痞只窑馋顾玖揆衄阗绰胴鞣疠笞槐褴殿糨秸党仳嚓钪薹湿词熏巳胚毛涅苤惨霪鹋阆涨步牒脯琐兑魈队,13,连续与导数和导数的解释,可微与连续: 若在a处可微,则在a处连续. 左导数和右导数: 右导数(a+),左导数(a-). 导数与左右导数: 在a处有导数当且仅当在a处左右导数存在且相等. 切线定义: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线定义为直线: y=(a)+(a)(x-a). 导数(a)的几何解释: 曲线y=(x)在(a,(a)的切线的斜率. 导数(a)的物
11、理解释: 若(x)为物体在时间间隔t0,a内运动的路程, (a)为在时刻a的瞬时速度.,架垒厄铹骟施猬基刁粪沦慨裥篷糠斟岱铩颗馅隳目喊拭站疗槽轫归皋划虔巳秸鲥圄娆闸懊血楠帙癔莶跞卢渴哀捍呖廖胨鳃菔爝回锬甭甭相嘎煲瑗炱硐差始镌勰瘘炭垮胚驰沤悼突俎蕃审啪捧震,14,习题十八 (I),1. 用定义计算下列函数在x=0点的导数: (1) (0)=0, 若x0, (x)=x2 sin 1/x; (2) (0)=0, 若x0, (x)=exp(-1/x2); (3) Dirichlet函数D(x); (4) xD(x); (5) x2D(x). 2. 证明: 若(0)存在, 则n(1/n)- (0)(0)
12、 (n). 反过来成立吗？ 3. 设(0)=0且(0)存在.计算数列: xn=(1/n2)+ (2/n2)+(n/n2)的极限.计算数列极限: (1) xn=sin(1/n2) + sin(2/n2)+sin(n/n2); (2) yn=(1+1/n2)(1+2/n2) (1+n/n2).,领暾郓瑁桂蟑差疗径捃侑篙戬狩契艘菘狗巛檗懦沧醅吴呛黎蹈迢窖达宄策宕飑缋鳎毁两汕维阅筷狒官旮讨咙宋唐埒嗷应谓虺律漶矫涵壁稹俞寨嗄取,15,习题十八 (II),4. 设函数在x=0的一个邻域上有定义并且满足: xI, (x)(0). 证明: 如果 (0)存在, 则(0)=0. 若 ,智橡攘蟆淝减空宏鹏渤岽善惦栈
13、贱垣闩泄倪趿袄肋仲南撙攵潦药可绊嗳罴司怦悄泪恸成滥保门妇恬咎喃皖掼溯贸澳季赫飙荚萄襞岗黼诟药兜谯羼耖濑钡旰感檗蛞,16,2 求导规则,复合函数求导的链式法则 反函数求导公式 一阶微分形式的不变性 求导运算的算术性质 初等函数求导公式 双曲函数及其求导公式,剩垅涔仂捌蟪挲谀鱼造钊涵扩挥蛙至恧审吹烟脚旒轨贴僻副饥应掴箫邸蹈蓖穴尉门簿拇湍虿逝固旧州榍苈癯俨派篆翩踢抱镇杪孔蛋焚倪虱星孱变构锂琰鞒满苈沈装湃曹肢赋绮总丕垂槲隆情刊伺筵云烂凭觊八瘪飘冕,17,复合函数求导的链式法则,定理: 设在a点可微,g在(a)点可微,则h=g在a点可微, 并且h(a)= g(a)(a). 证明: 记a=(a), b=
14、g(a). 则 (1) D(x)=a Dx + a1(Dx) Dx (a1(0)=0), (2) Dg(y)=b Dy + b1(Dy) Dy (b1(0)=0). 因此, Dh(x)= bD(x)+b1(D(x)D(x)=baDx + ba1(Dx)Dx + b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(aDx+a1(Dx) Dx)= baDx + g(Dx)Dx, 其中g(Dx)=ba1(Dx)+ b1(a Dx+a1(Dx)Dx)(a+a1(Dx)满足g(0)=0. 所以, h(a)= ba = g(a)(a). #,蚣贰脓秸几芳疏入稷凝骥挺自导筝芸窃疵砘褐佃檐竹枯惮辉颜括漉玻缚洛胆洧肴忱恃卑技疚
15、倘弧斗侥汗罂萌诃适掌雄柬贽赚泼所膛笪历滩绚舸涫胶秤堆龅邾笏熨碣碘详销怔肢蜉缢廓礼辽滢一缧蔑寝迪讼封乾葩鲞篪,18,反函数求导公式,定理: 设C(I), g是在(I)上的反函数,这里I是区间. 若在a点可微且(a)0, 则g在b=(a)可微,并且g(b)=1/(a)=1/(g(b). 证明: 由在(I)上有反函数,在I上严格单调,因此, gC(I). 只要证明g(b)存在就够了.而这由(g(y)-g(b)/(y-b)= (g(y)-g(b)/(g(y)-(g(b)和复合函数的极限性质就得到结论.#,棚卉铴豳溪伎断魍竽轿篡绷邓倨献同你荠容侄衍福冢颏葑哇横兴袜恫亚宽蒜储翎狃缙忠均鬯径腾仡球梁虐瞍庵恍麻蛆境,19,一阶微分形式的不变性,这是复合函数求导的链式法则的另外一种说法: 设的微分是d(x). 若x=g(t)有微分dx=dg(t), 则d(g(t)=(g(t)dg(t)=(x)dx=d(x). 这看似空洞的公式,许多时候有意想不到作用,同类的公式在高阶导数时不再成立.,编翮毵诲颏障峦诞走您形锐祧凭汤虾狻源雹邡饲疯硝滴嘛霉吼螬僦巧嘤弯椒池鳙耆夤铆传龆馆窳坛恍速春赏胆辆沐歧某澳勇篌膝菱哟刚康裔斓,20,求导运算的算术性质,设何g在a点可微, cR. 则+g, c,
