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1、第2章 关系运算,数据库原理及应用,教学内容,关系的数学定义 关系代数 关系演算,第1节 关系的数学定义,第2章 关系运算,主要内容,笛卡儿积的数学定义 关系的数学定义 关系的性质,一、笛卡儿积的数学定义,1、笛卡儿积的数学定义 定义2.1 设有属性A1,A2,An分别在值域D1,D2,Dn中取值，则这些值域的笛卡儿积定义为： D1D2Dn=(d1,d2,dn)|djDj, j=1,2,n 其中，每个元素 (d1,d2,dn)称为元组。 元组中的第j个值dj称为元组的第j个分量。 若Dj (j=1,2,n)为有限集，且其基数为mj (j=1,2,n),则笛卡儿积D1D2Dn的基数为,注：笛卡儿
2、积的基数即为笛卡儿积定义的元组集合中元组的个数。,一、笛卡儿积的数学定义,例1：设D1=1,2,3，基数为3； D2=a,b，基数为2； 则有： D1D2=(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b) 基数为32=6。,一、笛卡儿积的数学定义,例2：设D1=李兵，王芳，D2=男，女， D3=北京，上海。 D1D2D3=(李兵,男,北京)，(李兵,男,上海)， (李兵,女,北京)，(李兵,女,上海)， (王芳,男,北京)，(王芳,男,上海)， (王芳,女,北京)，(王芳,女,上海) 基数为222=8。,一、笛卡儿积的数学定义,可见，笛卡儿积实际上是一个二维表，结果共有8
3、个元组。,二、关系的数学定义,2、关系的数学定义 定义2.2 笛卡儿积D1D2Dn的任一子集称为在域D1,D2,Dn上的关系。 值域集合D1,D2,Dn是关系中元组的取值范围，称为关系的域（Domain），n称为关系的目或度（Degree）。,n=1，一元关系 n=2，二元关系 度为n时，n元关系,有意义！,三、关系的性质,3、关系的性质 （1）关系中的每个属性值都是不可再分的数据单位，即关系表中不能再有子表； （2）关系中任意两行不能完全相同，即关系中不允许出现相同的元组； （3）关系是一个元组的集合，所以关系中元组间的顺序可以任意； （4）关系中的属性是无序的，使用时一般按习惯排列各列的顺
4、序； （5）每一个关系都有一个主键，唯一地标识它的各个元组。,关系是一种规范化了的二维表。,第2节 关系代数,第2章 关系运算,主要内容,基于传统集合理论的关系运算 关系代数特有的关系运算 4种非基本关系运算 关系代数运算在查询中的应用,一、基于传统集合理论的关系运算,1、并 前提：关系R和S具有相同的关系模式 定义：RSt|tRtS,运算过程： 将关系R和S的元组放在一起，然后消去重复的元组。,一、基于传统集合理论的关系运算,1、并 示例: 求R1R2,关系R1,关系R2,R1R2,适用于：找出所有出现在两个关系之一的或同时出现在两个关系中的元组。,一、基于传统集合理论的关系运算,2、交 前
5、提：关系R和S具有相同的关系模式 定义：RSttRtS,运算过程： 找出同时存在于关系R和S中的所有相同的元组。,一、基于传统集合理论的关系运算,2、交 示例: 求R1R2,关系R1,关系R2,适用于：需要找出所有同时出现在两个关系中的元组时。,R1R2,一、基于传统集合理论的关系运算,3、差 前提：关系R和S具有相同的关系模式 定义：RSt|tRtS,运算过程： 从关系R的元组中去除它与关系S相同的那些元组,一、基于传统集合理论的关系运算,3、差 示例: 求R1R2,关系R1,关系R2,适用于：找出在一个关系中而不在另一个关系中的那些元组.,R1R2,一、基于传统集合理论的关系运算,4、广义
6、笛卡儿积 前提：关系R和S的目数分别为r和s。 定义： RSt|t=trRtsS ,运算过程： 用R的第i（i=1，2，m）个元组与S的全部元组结合成n个元组，所以RS有mn个元组。,一、基于传统集合理论的关系运算,4、广义笛卡儿积 示例: 求R1R3,关系R3,R1R3,关系R1,a b c g h,a b c i j,一、基于传统集合理论的关系运算,4、广义笛卡儿积 命名机制 关系名.属性名,关系R3,R1R3,关系R1,适用于: 将任意两个关系的信息无条件组合在一起,例题,例 求两个子公司营业情况进行统计,汇总结果,例 检查其中哪一个人输入是正确的,求差结果,例2.3说明了对于两个关系R
7、和S，其RS和SR的结果是不一样的。,二、关系代数特有的关系运算,先引入几个记号 （1） R，tR，tAi 设关系模式为R(A1，A2，An) 它的一个关系设为R tR表示t是R的一个元组 tAi则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量,二、关系代数特有的关系运算,（2） A，tA， A 若A=Ai1，Ai2，Aik，其中Ai1，Ai2，Aik是A1，A2，An中的一部分，则A称为属性列或属性组。 tA=(tAi1，tAi2，tAik)表示元组t在属性列A上诸分量的集合。 A则表示A1，A2，An中去掉Ai1，Ai2，Aik后剩余的属性组。,二、关系代数特有的关系运算,（3） tr ts R为n
8、目关系，S为m目关系。 tr R，tsS， tr ts称为元组的连接。 tr ts是一个n + m列的元组，前n个分量为R中的一个n元组，后m个分量为S中的一个m元组。,二、关系代数特有的关系运算,（4）象集Zx 给定一个关系R（X，Z），X和Z为属性组。 当tX=x时，x在R中的象集（Images Set）为： Zx=tZ|t R，tX=x 它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合,二、关系代数特有的关系运算,x1在R中的象集 Zx1 =Z1，Z2，Z3， x2在R中的象集 Zx2 =Z2，Z3， x3在R中的象集 Zx3=Z1，Z3,象集举例,二、关系代数特有的关系运算,1、投影
9、 定义 设关系R为r目关系，其元组变量为tr(t1,t2,tr)，关系R在其属性分量Aj1,Aj2,Ajk(kr;j1,j2,jk为1到r之间互不相同的整数)上的投影是一个k目关系,j1,j2,jk(R)t|t(tj1,tj2,tjk)(Aj1,Aj2,Ajk)R,1、投影 运算过程： 首先按照j1，j2，jk的顺序，从关系R中取出列序号为j1，j2，jk的k列，然后除去结果中的重复元组，构成一个以j1，j2，jk为顺序，以Aj1，Aj2，Ajk为属性的k目关系 投影是从列的角度进行的运算 投影的下标可是列序号，也可是列属性名,二、关系代数特有的关系运算,1、投影 示例：1,2（R2）,关系R
10、2,二、关系代数特有的关系运算,适用于：可以从某一关系中选出若干属性列构成新的关系，通常用于查询结果的输出,2、选择 定义： F(R)ttRF(t)=true 运算过程： 根据公式F对关系R作水平分割，从中挑选出满足公式F的那些元组组成新关系。 设F是一个命题公式 或 选择是从行的角度进行的运算，产生的关系具有与R相同的属性，但其元组数量总是小于或等于R中的元组数量,二、关系代数特有的关系运算,2、选择 示例,关系R1,B=dC=e（R1）,二、关系代数特有的关系运算,适用于：可以在某一关系中选择满足给定条件的诸元组构成新的关系,练习,关系R1,3，1(R1),二、关系代数特有的关系运算,二、
11、关系代数特有的关系运算,关系R2,23(R2),练习,二、关系代数特有的关系运算,给定关系R (X，Y) 和S (Y，Z)，其中X，Y，Z为属性组。 R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。 R与S的除运算得到一个新的关系P(X)， P是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影： 元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作： RS = tr X | tr RY (S) Yx Yx：x在R中的象集，x = trX,3、除,除(续),2）除操作是同时从行和列角度进行运算,除(续),例6设关系R、S分别为下图的(a)和(b)，RS的结果为图(c),分析,在关系R
12、中，A可以取四个值a1，a2，a3，a4 a1的象集为 (b1，c2)，(b2，c3)，(b2，c1) a2的象集为 (b3，c7)，(b2，c3) a3的象集为 (b4，c6) a4的象集为 (b6，c6) S在(B，C)上的投影为 (b1，c2)，(b2，c1)，(b2，c3) 只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影 所以 RS =a1,应用举例除法()：,首先除法的结果中元数为两个元数的差， RS的操作思路如下- 把S看作一个块，如果R中相同属性集中的元组有相同的块， 且除去此块后留下的相应元组均相同，那么可以得到一条元组， 所有这些元组的集合就是除法的结果,R,S3,S2,S
13、1,RS1,RS2,RS3,4、联接 1）设关系R和S的目数分别为r和s，是算术比较运算符，则联接运算定义为：,二、关系代数特有的关系运算,2）运算过程 将R的每个元组的第j个分量与S的每个元组的第k个分量做比较运算，当满足比较条件时，就把S的该分量所在元组接在R的相应元组的右边构成一个新关系的元组；当不满足比较条件时，继续下一次比较，直到关系R和S中的元组都比较完为止。,4、联接 3)说明,二、关系代数特有的关系运算, R S，FF1F2Fm, 等值联接:为“=”,关系R,关系S,例2.4 已知关系R和S，求R S或R S,二、关系代数特有的关系运算,4)示例,5）适用于 有选择条件的多个关
14、系的数据组合,5、自然联接 1）设关系R和S的目数分别为r和s，且关系R和S的属性中有部分相同属性A1,A2,Ak，则自然联接定义为：,二、关系代数特有的关系运算,2）运算过程 将R的每个元组的A1,A2,Ak列的值和关系S的每个元组的A1,A2,Ak列的值进行比较，比较条件是R.A1S.A1R.A2S.A2R.AkS.Ak，当条件都满足时，就从关系S中正在比较的元组中去掉被比较的k个分量后，把剩余的分量依原序接在关系R的元组的右边构成新关系的一个元组；当至少有一个条件不满足时，就继续下一次比较，直到关系R和S中的元组均比较完为止。,R,S,例2.5 已知关系R和S，求RS,二、关系代数特有的
15、关系运算,3)示例,5、自然联接 4）适用于：自然联接在关系数据库理论和实践中处于中心地位，它的使用非常方便。 5）与等值联接的区别： 当两个关系R和S有相同属性时，自然联接与等值联接都是判断在相同属性上的值是否相等。但结果关系中，自然联接的公共属性只出现一次，而等值联接的公共属性则要重复出现； 当关系R和S无公共属性时，R与S的自然联接即为R与S的广义笛卡儿积。,二、关系代数特有的关系运算,1、交 设R和S具有相同的关系模式。 定义： RSR(RS) 或 RSS(SR),三、4种非基本关系运算,2、商 设R和S的目数分别为r和s，且rs，s。 用基本关系代数运算可定义商为： RS1,2,r-s(R)-1,2,r-s(1,2,r-s(R)S)-R),三、4种非基本关系运算,3、联接 设R和S的目数分别为r和s。 用基本关系代数运算可定义联接为：,三、4种非基本关系运算,过程为：在R和S的广义笛卡儿积中挑选那些其第j个分量和第r+k个分量
