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1、第三讲 用空间向量的方法 解立体几何问题,一、主干知识 空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示: 设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面 ,的法向量分别为 =(a3,b3,c3), =(a4,b4,c4). (1)线线平行: lmaba=kb_.,a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2,(2)线线垂直: lmabab=_. (3)线面平行: la a =_. (4)线面垂直: la a=k _. (5)面面平行: =k _. (6)面面垂直: =_.,a1a2+b1b2+c1c2=0,0,a1a3+b1b3+c1c3=0,a1=ka3,b1=kb
2、3,c1=kc3,a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4,0,a3a4+b3b4+c3c4=0,0,二、必记公式 1.异面直线所成的角: 设a,b分别为异面直线a,b的方向向量,则两异面直线所成的角 满足cos=_. 2.线面角: 设l是斜线l的方向向量,n是平面的法向量,则斜线l与平面 所成的角满足sin=_.,3.二面角: (1)如图,AB,CD是二面角-l-的两个半平面内与棱l垂直的 直线,则二面角的大小=_.,(2)如图,n1,n2分别是二面角-l-的两个半平面, 的法向量,则二面角的大小满足cos= _. 提醒:求二面角时,两法向量的夹角有可能是二面角的补角,解答时要结合图形分析.
3、,-cos或cos,1.(2013金华模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面 边长相等,求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设正三棱柱的棱长 为2,A(0,-1,0),B1( 0,2), 则 O(0,0,0), B( 0,0), 则 为侧面ACC1A1的法向量,2.(2013临沂模拟)过正方形ABCD的顶点A,引PA平面ABCD.若PA=BA,求平面ABP和平面CDP所成的二面角.,【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角(锐
4、角)的余弦值为 故所求的二面角的大小是45.,3.(2013常州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90, BAC=30,BC=1,AA1= M是CC1的中点,求异面直线AB1 与A1M所成的角. 【解析】建立空间直角坐标系如图所示， 易得 所以 所以 所以 即AB1与A1M所成的角为90.,4.(2013宿迁模拟)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩 形，平面ABEF平面ABCD， EFAB，BAF=90， AD=2， AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上 (1)若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值. (2)若二面角D-AP-C的余弦值为 求PF的长度,【解析
5、】(1)因为BAF=90，所以AFAB， 因为平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCD=AB， 所以AF平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形， 所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系 所以B(1,0,0)， 所以 所以 即异面直线BE与CP所成角的余弦值为,(2)因为AB平面ADP，所以平面DAP的一个法向量为n1= (1,0,0)设P点坐标为(0,22t,t)，在平面APC中， (0,2-2t,t)， (1,2,0)， 所以平面APC的一个法向量为 所以 解得t= 或t=2(舍)所以PF=,热点考向 1 利用向量证明空间的平行、垂直
6、关系 【典例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EFPB于点F,求证: (1)PA平面EDB. (2)PB平面EFD.,【解题探究】 (1)用空间向量怎样证明线面平行? 提示:可证明直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量 共线或证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)用空间向量怎样证明线面垂直? 提示:只需证明直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向 向量垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可.,【证明】如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点,设DC=a. (1)连结AC交BD于G,连结EG. 依题意得
7、A(a,0,0),P(0,0,a),E 因为底面ABCD是正方形, 所以G是此正方形的中心, 故点G的坐标为 所以 则PAEG. 而EG平面EDB且PA平面EDB, 所以PA平面EDB.,(2)依题意得B(a,a,0), =(a,a,-a), 又 故 所以PBDE. 由已知EFPB，且EFDE=E，所以PB平面EFD.,【方法总结】 1.用向量法证明空间的线线、线面、面面平行关系的思路 (1)设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a,b,那么abab. (2)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行. (3)直线与平面平行可以转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可以通过
8、证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面来证明直线与平面平行.,2.空间的线线、线面、面面垂直关系转化为空间两个向量垂直 问题的思路 (1)设a,b分别为直线a,b的一个方向向量，那么ab abab=0; (2)设a,b分别为平面,的一个法向量，那么 abab=0; (3)设直线l的方向向量为a,平面的法向量为b，那么l ab，此外，也可证明l的方向向量与平面内两条相交 直线所对应的方向向量垂直.,【变式训练】如图，已知ABCD是边长为2的正方形，DE平面ABCD，BF平面ABCD，且FB=2DE=2. 求证：平面AEC平面AFC.,【证明】建立如图所示的空间直角坐标系， 所以D(0，0
9、，0)，E(0，0，1)，A(2，0，0)， C(0，2，0)，F(2，2，2)， 所以 =(-2，0，1)， =(0，2，-1)， =(0，2，2)， =(-2，0，-2). 设m为平面AEC的一个法向量，m=(x1,y1,z1)，,设n为平面AFC的一个法向量，n=(x2,y2,z2), cosm，n= 所以mn. 所以平面AEC平面AFC.,热点考向 2 利用空间向量求线线角、线面角 【典例2】(2013郑州模拟)如图,已知点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上,PDA=60. (1)求DP与CC所成角的大小. (2)求DP与平面AADD所成角的大小.,【解题探究】 (1)解答本题
10、直接求 的坐标不易求，应如何转化？ 提示：延长DP交BD于H，转化为求DH与CC所成的角. (2)直线CC的方向向量与平面AADD的法向量能直接确定 坐标吗? 提示：能直接确定,以D为原点，DA所在直线为x轴建立空间直 角坐标系后，设正方体棱长为1，直线CC的方向向量为 =(0,0,1),平面AADD的一个法向量是 =(0，1，0).,【解析】如图，以D为原点，DA所在直线为x轴，建立空间直角 坐标系,设正方体棱长为1，则 =(1,0,0), =(0，0，1).连 结BD,BD，在平面BBDD中，延长DP交BD于H. 设 =(m,m,1)(m0), 由已知 由 可得,(1)因为 所以 即DP与
11、CC所成的角为45. (2)平面AADD的一个法向量是 =(0,1,0) 因为 所以 可得DP与平面AADD所成的角为30,【方法总结】 1.利用空间向量求空间角的一般步骤 (1)建立恰当的空间直角坐标系. (2)求出相关点的坐标,写出相关向量的坐标. (3)结合公式进行论证、计算. (4)转化为几何结论. 2.利用空间向量求线线角、线面角的思路 (1)异面直线所成的角,可以通过两直线的方向向量的夹角 求得，即cos =cos . (2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的 法向量的夹角求得，即sin =cos .,【变式训练】(2013新课标全国卷)如图，三棱柱ABC-A1B1C
12、1中，CA=CB，AB=AA1，BAA1=60. (1)证明ABA1C. (2)若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值.,【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B. 因为CA=CB, 所以OCAB. 由于AB=AA1,BAA1=60, 故AA1B为等边三角形,所以OA1AB. 因为OCOA1=O,所以AB平面OA1C. 又A1C平面OA1C,故ABA1C.,(2)由(1)知,OCAB,OA1AB, 又平面ABC平面AA1B1B,交线为AB,所以OC平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直. 以O为坐标原点, 的方向为x轴
13、的正方向,建立如图所示的 空间直角坐标系, 设| |=1. 由题设知A(1,0,0),A1(0, ,0), C(0,0, ),B(-1,0,0).则 =(1,0, ), = =(-1, ,0), =(0,- , ).,设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z)， 则有 可取n=( 1,-1). 故 所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为,热点考向 3 利用空间向量求二面角 【典例3】(2013江苏高考)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,ABAC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点. (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值. (2)求平面ADC1与平面ABA1
14、所成二面角的正弦值.,【解题探究】 (1)结合题设条件,如何建立适当的空间直角坐标系? 提示:由题意知AB,AC,AA1两两互相垂直,故以A为原点,AB, AC,AA1分别为x轴,y轴,z轴建立坐标系较适当. (2)如何应用空间向量求两个平面所成二面角的正弦值? 提示:用两个平面的法向量来求.,【解析】(1)以A为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标 系, 则A(0,0,0),B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0), A1(0,0,4),C1(0, 2, 4),所以 =(2,0,-4), = (1,-1,-4). 因为 所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为,(2)设平
15、面ADC1的法向量为n1=(x,y,z), 因为 =(1,1,0), =(0,2,4), 所以n1 =0, n1 =0，即 x+y=0且y+2z=0, 取z=1, 得x=2,y=-2, 所以n1=(2, -2, 1)是 平面ADC1的一个法向量.取平面ABA1的一个法向量为n2= (0, 1, 0),设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为. 由 因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为,【方法总结】 1.向量法求二面角的思路 二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角. 2.求平面的法向量的方法 (1)待定系数法：设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程求解. (2)先确定平面的垂线，然后取该垂线对应的向量，即确定了平面的法向量.,【变式训练】如图，
