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1、微积分-极限与连续,1,第2章 极限与连续,微积分-极限与连续,2,一、数列概念,数列可看作自变量为正整数的函数(下标函数),2.1 数列的极限,2.特性:,1)有界性:,2)单调性:,1.定义:按正整数编号依次排列的一列数,称为无穷数列,简称数列,记为un.其中的每个数 称为数列的项, un称为通项(一般项).,称此数列单调增加,称此数列单调减少,微积分-极限与连续,3,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.早期极限思想的体现,放映1,二、数列极限概念,当自变量n趋于无穷大时，数列yf (n)的变化趋势,(1)刘徽的割圆术:,极限：研究函数在自变量的某个
2、变化过程中，函数值无限趋近于某个常数的性质。,对于数列：,微积分-极限与连续,4,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,微积分-极限与连续,5,(2) 庄子的截丈问题:,第一天剩余u1,第二天剩余u2,第n天剩余un,0,但0,“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”,6,0,1,0,1,0,-1,1,2.直观定义：,数列un, 若当n无限增大时, un无限趋,近于常数a, 则称数列un以a为极限, 或称un收敛于a, 记：,发散,无限增大,例, 否则称 un发散.,7,播放,对于较简单的数列的极限, 可通过观察法求得，例:,0,2,0,1,0,微积分-极限与连续,8,问题:,“无限接近”
3、意味着什么?如何用数学语言刻划它.,微积分-极限与连续,9,3.“e N”定义：,例1,证,设有数列un, 若对任意 , 总,则称a是数列un的极限，或称un收敛于a，记作:,存在正整数N, 使得当nN时，恒有,成立, 否则称数列un发散。,则当nN时,10,注:,3.N一般与任意给定的正数e 有关,e 越小，N 越大。,例2,证,说明:常数列的极限等于同一常数.,1.e 具有二重性: 任意性和不变性。在取e 时, 对其大小不加限制，正由于这种任意性，才能用 刻划un与a任意接近。而在根据e 找 N 时它是不变的.,2. e 刻划un与a接近的程度, N刻划数列作为动点运动到什么时刻可使un与
4、a接近程度小于给定的e .若把数列看成函数, 则e 、N分别用来刻划因变量及自变量的变化过程.,4. N是不唯一的，用定义证明数列极限时, 关键是对任意 给定的e 0, 由 来寻找N, 但不必要求最小的N.,对于一切正整数n，,例3,证,(不妨设1), 则当nN时,例3可用放大手法:,注:1)“放大”是为方便解不等式。注意不能“放过头”, 上例 若将 放大为1，则1不可能小于任意给定的正数。,2)“放大”后找到的N通常比不放大解得(若易解)的要大,微积分-极限与连续,12,三、数列极限的几何意义,微积分-极限与连续,13,1.唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极
5、限唯一.,四、数列极限的性质,或:,即: a=b,14,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论(逆否命题) 无界数列必定发散.,定理 收敛的数列必定有界.,取1，则nN时un有界,则对一切正整数n, 皆有,2.有界性,微积分-极限与连续,15,五.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义, 几何意义;,收敛数列的性质:唯一性、有界性.,微积分-极限与连续,16,思考题：1.试判断下列论断是否正确,1)若n越大, |un-a|越接近于零, 则有,3)若对 存在正整数N, 当nN时, 数列un中有无穷多项满足不等式 , 则有,2)若 , 则n越大， 越接近于零,反例
6、：,n越大, 越接近于零, 但,反例：,反例：,或：,而,但 不存在,-1,微积分-极限与连续,17,4)若对 数列un中除了有限项外都满足不等式 , 则有,3.从几何直观层次思考：若数列为单调增加(减少)且有上界(下界)的数列，此数列的敛散性如何？,定义：从数列un中用任意一种方式选取无穷多项并按原来的相对次序排列，所得数列称为数列un的一个子列。,2.若数列un收敛，它的子列将会出现什么情况？,收敛于上(下)确界最小(大)的上(下)界.,收敛于同一个常数.,微积分-极限与连续,18,作业：,P33：2-3 (3)(4) 思考 2-4,一、x 时函数f (x)的极限,2.2 函数的极限,例f
7、 (x) 无限增大时， f (x)0,1.直观定义：,数列极限：自变量取自然数离散地趋于正无穷大;,一般的函数极限：自变量连续取值, 因而可能趋于正无穷、负无穷，或从左、右两侧趋于某一定点.,2.“e X”定义(P32):,d,x0时:,x X, x,x0时:,xX, x,例,0,0,不存在.,不存在.,不同情形,21,3.几何意义:,对无论多么小的正数 e , 总能找到正数X, 当x满足条件x X 或x X 时, 曲线yf (x)介于水平直线yAe和yAe之间。,水平渐近线：,(局部有界性),x X 或x X,微积分-极限与连续,22,例1 证明,证,则当 |x| X 时,例2 证明,证,二
8、、xx0时，函数f (x)的极限,例:f(x)x+2, x2时, f (x),x2时, f (x),4,4, x2时, f (x),x+2,1.直观定义：,函数f (x)在点x0的某空心邻域内有定义,若当x无限接近于x0,(但不等于x0)时,f (x)无限趋近,于常数A, 则称f (x)当x趋于x0时以A为极限, 记：,2.“e d ”定义(P33):,0|xx0|, | f (x)A|,d,24,注:1)e 刻划 f (x)与A的接近程度, d 刻划x与x0的接近程度。一般e 越小, d 越小。 d 是不唯一的。,2)用定义证明f (x)在x0点的极限时，关键是对任意给定的e 0，由| f
9、(x)A| e找到0|xx0| d中的d.,3)f (x)在x0的极限研究f (x)在x0附近的变化趋势,与x0点的定义无关，故有关问题讨论均假定xx0 .,例3 证明,证,只要0 |x-2| e , e,取de，则当 0 |x-2| d 时，有,微积分-极限与连续,25,例4 证明,任取d,取de,例5 证明: 当x00时,只要, e,取d,证,则当0|x-x0| d时,O,x0,x,？,3.几何意义:,任意给定正数e,无论它多小, 总存在x0的去心邻域0|x-xo| d,使得y=f(x)在该去 心邻域内的图 形介于两条平 行线y=A-e和y=A+e之间.,(局部有界性),0|xx0| d,
10、 |f (x)A| e,微积分-极限与连续,27,0|xx0| d, | f (x)A|e,0xx0 d , | f (x)A|e,d,d,0x0x d , | f (x)A|e,d,或 x0x x0+ d,或 x0 d x x0,右极限,左极限,4.单侧极限,微积分-极限与连续,28,解：,1,1,微积分-极限与连续,29,例7,试讨论当x0及x1时，函数f(x)的极限是否存在。,前述七种形式的极限：,其本质都是研究在自变量的某个变化过程中, 函数值的变化趋势: f(x)A, 抓住这一本质, 将它们统一表示为：,三、变量的极限,变量的极限lim f(x) A 或 f(x) A,0|xx0|时
11、,X0,nN,正整数N,|x|X,X0,xX,X0,x X,d 0,0 x0x 时,d 0,0 xx0时,d 0,微积分-极限与连续,31,作业：,P38：2-6 2-7 (2)(3) 思考：8 预习：2.4无穷小与无穷大,微积分-极限与连续,32,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).,一、无穷大量,1.定义:,记作:,分析定义:,0|xx0|时,d 0,有| f(x)| M,M 0,|x| X 时,X 0,有| f(x)| M,M 0,2.3 无穷大量与无穷小量,f (x)在X上无界,比较:,微积分-极限与连续,33,3.单说变量是无穷大量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,注意,1.
12、无穷大量是变量, 不能与很大的数混淆;,4. 无穷大量是无界变量, 但无界变量未必是无穷大量.,当n是无界变量, 但不是无穷大量.,例:,f(x)xsinx,当x是无界变量, 但不是无穷大量;,微积分-极限与连续,34,微积分-极限与连续,35,2. 正无穷大、负无穷大:,注： 正(负)无穷大不可笼统地写作无穷大;,例:,微积分-极限与连续,36,图示：,微积分-极限与连续,37,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小(量). 记作:,二、无穷小量,分析定义:,0|xx0|时,d 0,X0,|x|X,微积分-极限与连续,38,例如,注意,1.无穷小量是变量, 不能与很小的数混淆;,2.零是可以作
13、为无穷小量的唯一的数；,3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,ex当 时是无穷小量; lnx当 时是无穷小量.,x-,x 1,微积分-极限与连续,39,2. 变量极限与无穷小量的关系:,证,仅对xx0的情形证明。,|f(x)-A|e,0|x-x0|d 时,|(x)|e,0|x-x0|d 时,即|f (x)-A|e,定理,微积分-极限与连续,40,3. 无穷小的运算性质:,(1)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.,证,注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,e,当|x|X1时, 有| ,当|x|X2时, 有| .,微积分-极限与连续,41,(3)无穷小量与有界变量之积
14、仍为无穷小量.,证,(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小量.,0|xx0| d2时, |(x)| e.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,例如:,e,f (x)在x0的某空心邻域内有界, 即,微积分-极限与连续,42,(4)无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.,证,设A0.,？,?,?,0,结论？,思考!,微积分-极限与连续,43,4. 无穷小量阶的比较,例如,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.,两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢?,=0,=3,=1,无穷小量的商未必是无穷小量。,微积分-极限与连续,44,定义:,例,注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量。,(后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算),微积分-极限与连续,45,定理 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,三、无穷大量与无穷小量之间的关系,意义:关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.,则,即,微积分-极限与连续,46,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,x 1,或 x 2,x,x,x +,练习:,无穷大:,ln(2x)为无穷小,(t)2x 1,无穷小:,ln(2x)为无穷大,(t)2x+,x 或 x 2,x 1,或(t)2x0,(画lnt的图形!),(画lnt的图形
