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1、江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期暑期作业抽测高二数学试卷(满分160分，考试时间120分钟)一：填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.已知集合，则集合的真子集的个数为_【答案】【解析】【分析】由与，求出两集合的交集确定，进而可得结果.【详解】,则集合的真子集的个数为，故答案为7.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的子集，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简答题.2.已知函数，则的值是_【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式求出，进而可得结果.【详解】因为函数，所以所以故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题
2、.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.3.函数在区间上的值域为_【答案】【解析】【分析】先求出取值范围，再由正弦函数的性质即可求出函数在区间上的值域.【详解】由题意，得，故答案为.【点睛】形如，的函数求值域，分两步：（1）求出的范围；（2）由的范围结合正弦函数的单调性求出，从而可求出函数的值域.4.已知向量， ，其中，若，则_【答案】【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量与 ,然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式,解之即可.【详解】向量，即，又，故答案为4.【点睛】利用向量的位置
3、关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.已知，则_【答案】【解析】【分析】利用的取值范围和，求得的值，然后结合两角和与差的余弦函数公式来求的值.【详解】，解得，故答案为.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是
4、转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角6.设数列的前的和为，且满足,则_【答案】【解析】【分析】由，得，从而，从而，由此得到是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出的值.【详解】数列的前项和为，满足，解得，解得，解得，整理，得，是首项为2，公比为2的等比数列，故答案为4.【点睛】本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，属于中档题. 已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在
5、利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.7.一个圆锥的侧面积等于底面面积的倍，若圆锥底面半径为cm，则圆锥的体积是_cm3.【答案】【解析】【分析】根据圆锥的侧面积等于底面面积的倍，计算圆锥的母线长,得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，设，解得，圆锥的高，圆锥的，故答案为.【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式、圆锥的体积公式以及圆锥的几何性质，意在考查空间想象能力，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.8.若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则实数的取值范围是_【答案】【解析】钝角三角形内角的度数成等差数列，则 ，
6、可设三个角分别为，故 ，又，令，且 ，则 ，在 上是增函数，故答案为. 9.若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_.【答案】(x2)2(y)2【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为.视频10.在中，若，则实数_【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的运算法则用表示出和，利用，列方程可求出的值.【详解】如图所示，中，解得，故答案为.【点睛】向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量
7、的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）11.若正实数满足，则的最小值是_【答案】8【解析】当y=2x取得等号，所以的最小值是812.在锐角中，内角的对边分别为，且，则的周长的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由，可得，由正弦定理可得 化简整理为，利用正弦函数的有界性可得出结论.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，sinA= ，故答案为.【点睛】本题主要考查辅助角公式、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两
8、边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.13.已知,且,则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由基本不等式可得，设，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，即，设， 在上递减，即的最小值是，故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找
9、出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.14.设是定义在上的奇函数，且，若不等式对区间的两不相等的实数都成立，则不等式的解集是_【答案】【解析】【分析】由对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，知在上单调递减，由的奇偶性可判断的奇偶性及特殊点，从而可作出草图，由图可解，进而得到结论.【详解】对区间内任意两个不等式相等的实数都成立，函数在上单调递减，又的奇函数， 为偶函数，在上单调递增，且，作出草图如图所示， ，即，由图象得，或，解得或，不等式解集是，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是
10、根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知的内角的对边分别为，且，(1)求；(2)设为边上一点，且，求的面积【答案】；的面积为【解析】【分析】由，可得，又为三角形内角，则，在中，由余弦定理可得结果；由题设可得，则，故面积与面积的比值为，求出的面积，即可得结果.【详解】，又为三角形内角，则在中，由余弦定理可得，即，解得，舍去，由题设可得，则故面积与面积的比值为的面积
11、为的面积为【点睛】本题主要考查余弦定理、三角形面积公式及特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16.如图，在三棱锥中，平面平面，点(与不重合)分别在棱上，且求证：(1)平面(2)【答案】(1)见解析；见解析【解析】【分析】(1)利用三角形中位线定理可得，由线面平行判定定理可得结论；(2)由面面垂直的性质定理可得平面 . 因为平面，所以又，可得平面，从而可得结论.【详解】(1)在平面内，因为，且在同一平面内，所以又因为平面，平
12、面，所以平面(2)因为平面平面，平面平面，平面，所以平面因为平面，所以又，平面，平面，所以平面又因为平面，所以【点睛】证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法证明的.17.在一个特定时段内，以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域点正北50海里处有一个雷达观测站某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置，经过分钟
13、又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由【答案】(1)；见解析【解析】【分析】（1）先以点为原点，正东方向为轴正半轴建立坐标系，如图，得出点的坐标，再利用两点距离公式得从而求得小船速度即可；（2）欲判断它是否会进入警戒水域，只须比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小即可.【详解】(1)建立如图所示直角坐标系， 则船的行驶速度为海里小时（也可用余弦定理求）（2）直线方程为整理得原点到直线的距离为所以不会进入警戒水域。【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、直线与圆的位置关系，属
14、于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.18.在平面直角坐标系中，已知射线与射线，过点作直线分别交两射线于点（不同于原点）(1)当取得最小值时，直线的方程；(2)求的最小值；(3)求的最小值【答案】直线的方程为；【解析】【分析】(1)设因为三点共线，可得，即，利用基本不等式可得结果；(2)，先利用基本不等式求得，结合二次函数的性质可得结果；，结合（2）可得结果.【详解】(1)设因为三点共线，所以与共线，因为，所以，得，即，等号当且仅当时取得此时直线的方程为(2)因为由，所以，当且仅当时取得等号所以当时，取最小值当且仅当时取得等号,所以的最小值为【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两
