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1、2019/1/17,1,3.4二维随机变量函数的分布,设(X,Y)是二维随机变量，与一维情形类似Z=g(X,Y)可看作是一维随机变量。本节将学在已知(X,Y)分布的情况下求Z=g(X,Y)的分布。,复：X离散型，求Yg(X)的分布律的一般方法为：,设X 的分布律为 则随机变量Yg(X)的分布律为：,如果有若干个 相等，将他们合并，并将相应的概率相加（必要时可重新排序）。,2019/1/17,2,设 （X,Y ）是二维离散型随机变量，联合分布律为 设Zg( X,Y ) ，则Z是一维离散型随机变量，其可能的取值为 类似一维，Z的分布律为：,同样地，如果有若干个 相等，将他们合并，并将相应的概率相加
2、。,离散型,2019/1/17,3,例题：已知随机变量 （X,Y）的联合分布律为,求Z=X+Y的分布律。,解法一：X 的可能取值为1, 2，Y 的可能取值为1, 2, 3，于是 Z=X+Y 的可能取值为2, 3, 4, 5， 且,2019/1/17,4,2019/1/17,5,2019/1/17,6,离散型卷积公式,证：显然，Z 的可能取值为 ，并且对任意 有,定理设 X,Y 为相互独立的两个离散型随机变量，其可能的取值 ，则Z=X+Y 的分布律为,2019/1/17,7,复：在已知连续型随机变量X 的分布情况下求 的密度函数的方法为：,（1） 确定Y 的取值范围R(Y)；,（2） 求出当 时
3、Y 的分布函数 ：,其中 是满足 的X 的取值范围；,（3） 求出当 时Y 的密度函数 ：,(4) 总结Y 的密 度函数,连续型,2019/1/17,8,（1） 确定Z 的取值范围R(Z)；,（3） 求出当 时 Z的密度函数 ：,（4）总结 Z的密度函数 。,类似于一维情形，设 为二维连续型随机变量 ，联合密度为 ，又设 ，则 Z 的密度函数的求法一般为：,2019/1/17,9,解：由于联合密度不为零的区域为,2019/1/17,10,2019/1/17,11,（4）总结 Z的密度函数 。,2019/1/17,12,、连续型卷积公式,例 ：设 的联合密度为 求 Z 的密度函数（a, b为不全
4、为0的实常数）。,因此，当 时，,2019/1/17,13,所以,所以,所以,2019/1/17,14,综上所述，只要 ，有,同理可证，当a不为0时，有,当 时，,2019/1/17,15,特别地，当 时，,这就是连续型卷积公式：,2019/1/17,16,例 ：若 X 与 Y 相互独立且 求 的密度函数。,解：由于 所以 X 和 Y 的密度函数分别为,显然 。由以上定理知， 的密度函数为,2019/1/17,17,当 时，图中阴影部分内沿x方向积分，被积函数不为0，因此,2019/1/17,18,所以 的密度函数为：,2019/1/17,19,类似于前面的卷积公式，我们有,定理 设二维连续型随机变量（X,Y）的联合密度函数为 ，则 的密度函数为,特别地，若 X 与Y 相互独立，则,分析：证明方法与其它定理的证明一样，都用的是一般方法：由分布函数得密度函数。,2019/1/17,20,所以,2019/1/17,21,于是,类比与思考：既然 的密度函数为 那么 的密度函数应该是怎样的？,2019/1/17,22,例 ： 若 且 X 与 Y 相互独立。求 的密度函数。,解：由题意知,因 X 与 Y 相互独立，故,要使被积函数不为0，需 如图。,2019/1/17,23,当 时,当 时,总结有,
