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1、第三章 矩阵,矩阵的运算 矩阵的逆 初等矩阵 矩阵的等价 矩阵的分块,1 矩阵的运算,矩阵的加法、减法 矩阵的数乘 矩阵的乘积 矩阵的转置 矩阵乘积的行列式,矩阵的定义,定义1 由 个数排成的m行n列的表 称为一个 矩阵.,以后我们用A,B,或 来表示矩阵. 有时也记为,矩阵相等,如果m=l,n=k，且 我们称A与B相等，记为A=B.,Back,矩阵的加法,定义2 设 则 称为A与B的和，记为C=A+B. 即对应元素相加. 相加的矩阵必须有相同的行数及列数. 有下列性质: 结合律：A+(B+C)=(A+B)+C 交换律：A+B=B+A。,零矩阵 元素全为零的矩阵，记为 A的负矩阵 A-B=A+
2、(-B).,数量乘法 矩阵 称为矩阵 与数k的数量乘积， 记作kA。,满足 (k+l)A=kA+lA, k(A+B)=kA+kB k(lA)=(kl)A, 1A=A k(AB)=(kA)B=A(kB),矩阵乘法 那么,称为A与B的乘积，记为 C=AB 注意：矩阵乘积要求A的列数与B的行数必须相等.,其中,例1 设 那么,矩阵的乘法满足结合律： A(BC) = (AB)C 矩阵乘法不适合交换律。 （1）AB有意义，BA不一定有意义； （2）AB,BA都有意义，级也不一定相等； （3）即使AB,BA都是同级矩阵AB与BA也不一定相等。,如：,矩阵乘法的消去律不成立。 即当AB=AC时， 不一定有B
3、=C 矩阵的乘法和加法适合分配律： A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA,定义 矩阵 称为n级单位矩阵，记为 ，或者在不致引起含混的时候简记为E,数量矩阵： 数量矩阵与所有的nn矩阵是可以交换的，有 kA=(kE)A=A(kE). 数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法，及有 kE+lE=(k+l)E, (kE)(lE)=(kl)E,定义矩阵的方幂：设A为nn矩阵， 满足 但 与 一般不相等.,设A为nn矩阵,则定义,4、转置 定义5 所谓A的转置矩阵是指 或记为,满足以下规律：,下面验证第三条，设 AB中（i,j）元素为 所以 中（i,j）元素是,其次， 中(i,k)的
4、元素是 ， 中(k,j)元素是 ，因而， 中 (i, j) 的元素即为 比较上面两式即得第三式.,例 设 于是,Back,例5 设,， 求,Back,矩阵乘积的行列式,n阶方阵的行列式,称为矩阵,的行列式,如果 , 则称矩阵 A 是奇异的、非满秩的 退化的，此时 r(A)n,如果 , 则称矩阵 A 是非奇异的、满秩 的，非退化的，此时 r(A)=n,关于矩阵乘积的行列式有 定理1 设A,B是数域P上的两个nn矩阵，那么 |AB|=|A|B| 即矩阵乘积的行列式等于它的因子的行列式的乘积. 证明,一方面, 行列式 D 按照前 n 行展开，得到 D=,另一方面, 把 D 中左上角的 化为零， 右上
5、角的元素则是 ,按照前 n 行展开， 得到,于是 都是 n 阶方阵，则 推论 设A,B是数域P上的nn矩阵，矩阵AB为非奇异的充分必要条件是A,B中都是非奇异的,矩阵的逆,可逆矩阵的定义 伴随矩阵的定义及其性质 利用伴随矩阵求矩阵的逆 逆矩阵的性质,本节讨论矩阵乘法的逆运算. 所讨论的矩阵是nn的矩阵. E是n级单位矩阵，有AE=EA=A，所以E在方阵中的地位相当于1在复数中的地位. 一个复数 ，则 . 类似引入：,定义6 n级方阵A称为可逆的，如果有n 级方阵B，使得 AB=BA=E (1),这里E是n级单位矩阵.,对于任意矩阵A，适合等式（1）的矩阵B是唯一的。 事实上，假设 是两个适合（
6、1）的矩阵，有 A的逆矩阵，记为 .,定义7 设 是矩阵 中元素 的代数余子式，矩阵 称为A的伴随矩阵。,结论： （2） d=|A|。如果d=|A|0, 那么 （3）,定理2 矩阵A是可逆的充分必要条件是A非退化， 且,证明 当 时，由（3）可知，A可逆，且 （4） 反过来，如果A可逆，那么有 使 两边取行列式，得 （5） 因而 ，即A非退化.,由定理2容易看出， 推论: 对于n级方阵A,B，如果 AB=E，那么，A,B就都可逆，并且它们互为逆矩阵. 定理2同时给出求逆阵的公式（4）.,例: 求矩阵的逆,矩阵逆的性质,由（5）式可以看出，如果|A|=d0, 那么 推论 如果矩阵A,B可逆，那么
7、 与AB也可逆，且 证明 因为矩阵A,B可逆，所以 与AB的行列式不等于零，即可逆. 将 两边取转置得 因此,由 得,假设 AX=B 如果 ,那么A可逆. 两边左乘 得 如果X=C 是（6）的另外一个解，那么由 AC=B，知 这就是说 是唯一的解。,Cramer法则的矩阵推导,矩阵方程,对于两个矩阵 A， B，如果它们可逆， 求矩阵 X AX=C XB=C AXB=C,3初等矩阵,初等矩阵的三种形式 初等矩阵的作用 矩阵的等价标准形 用初等变换求矩阵的逆,本节建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系。给出初等变换求逆阵的方法， 定义8 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵都
8、是方阵，每一个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵. (1) 互换矩阵i 行与 j 行的位置得,初等矩阵的三种形式,(2) 用非零数c乘E的 i 行，,(3) 把矩阵E的 j 行的 k 倍加到 i 行，,同样可得到列变换相应的初等矩阵也是上述三个矩阵.,初等矩阵的逆 初等矩阵都是可逆的， 它们的逆矩阵还是初等矩阵.,初等矩阵的作用 定理4 对一个mn矩阵 A 作一初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的m m初等矩阵； 对 A 作一初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的nn的初等矩阵.,证明： 设 在 A 左边分别乘以三种初等变换，直接验证,定理4表明对于矩阵 A 做一系列的初等变换，可以
9、通过左乘及右乘若干个初等矩阵来实现,例,我们可以写成 P(1,2) A P(3(5)=B,矩阵A的标准形 它称为矩阵A的标准形，主对角线上1的数等于A的（1的个数可以是零）.,定理 5：任意一个 mn矩阵 可经过 初等变换化为标准形 B，这里矩阵 B 中 1 的个数等于矩阵 A 的秩,证明 如果A=0，那么它已经是标准形了,以下无妨假设A0.,当 时，把其余的行减去第一行的 倍, 其余的列减去第 一列的 。,然后，用 乘第一行，A就变成 是一个 的矩阵。对 再重复以上的步骤。这样下去就可得出所要的标准形。,显然，标准形矩阵的秩就等于对角线上1的个数. 而初等变换不改变矩阵的秩，所以1的个数也就
10、是矩阵A的秩.,例: 将矩阵 A 化为标准形,用初等变换求矩阵的逆,n阶矩阵 A 是可逆矩阵, 当且仅当 A 的秩是 n. 从而矩阵 A 的标准形是单位矩阵 E, 即: 推论1: 方阵 A 是可逆的充分必要条件是 A可通过初等变换化为单位矩阵E.,推论2 n级矩阵A为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘法： (2) 把（2）式改写一下得,推论3 可逆矩阵准可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵. 若A是可逆矩阵，存在一系列初等矩阵 使,求逆阵的方法：初等行变换,例,求逆。,于是,Back,求矩阵逆的方法：初等列变换,求解矩阵方程,AX=B,求解矩阵方程,XA=B,4 矩阵的等价,矩阵等价
11、的定义 矩阵等价的条件 矩阵等价的标准形 矩阵乘积的秩,矩阵等价的定义,定义9：如果矩阵 B 可以从矩阵A经过一系列的初等变换而得到, 则称矩阵 A与B等价.,矩阵等价的性质,反身性: 矩阵A 与自己等价 对称性: A与B等价, 则B与A等价 传递性: A与B等价, B与C等价, 则A 与 C 等价,矩阵等价的条件,由矩阵等价的定义知 矩阵 A 与 B 等价, 当且仅当 从而矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件 是存在初等矩阵,推论4: 两个 矩阵 A和B等价的充分必要 条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵Q, 使得 B=PAQ 推论5: 两个 矩阵 A和B等价的充分必要 条件是
12、它们有相同的秩,矩阵乘积的秩,定理6：,证明： 设矩阵 A 是 矩阵，B 是 矩阵，设 r(A)=r,（1）如果 是标准形，那么 A 有 m-r行 全为零，所以 AB 至少有 m-r 行全为零,而AB 是 m 行矩阵，所以,（2）如果 ,不是标准形，那么存在 m 阶 可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q，使得 故有,我们把 看作是 与矩阵 的乘积， 所以由（1） 知：,由于 P 是可逆矩阵，所以,从而,5 矩阵的分块,本节我们介绍一个处理大型矩阵的方法，即矩阵的分块。我们把一个大矩阵看成一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成一样。在进行矩阵运算时，把这些小块当作数一样处理，这就是所谓矩阵的分块.,数
13、量乘法,设,则,例,加法,设 则,一般，设 把A,B分成： （1）,分块矩阵的乘法,（2）,其中,如,其中,因此,用矩阵分块证明r(AB) min(r(A),r(B),所以AB的行向量可由B的行向量线性表出；同理，AB的列向量可由A的列向量线性表出。所以有 r(AB) min(r(A),r(B),例 求矩阵,的逆阵。其中 首先因为 |D|=|A|B| 所以A,B可逆时，D也可逆。设 于是 比较等式两边得到：,解得 因此,特别，当C=0，时，有,对角矩阵 定义 形式为,的矩阵, 其中 是数, 称为对角阵。,形式为 的矩阵，其中 是 的矩阵，称为准对角矩阵.,准对角矩阵,两个有相同分块、同级的准对角矩阵的运算,则,如果 都是可逆阵，那么,分块矩阵的秩,Back,
