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1、第1节 不等式的性质及比较法证明不等式,第6章 不等式,免费下载！,要点疑点考点,1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假. 不等式有如下8条性质： 1.ab ba.(反身性) 2.ab，bc =ac.(传递性) 3.ab a+cb+c.(平移性) 4.ab，c0 = acbc； ab，c0 = acbc.(伸缩性) 5.ab0 = ，nN，且n2.(乘方性) 6.ab0 = anb，nN，且n2.(开方性) 7.ab，cd = a+cb+d.(叠加性) 8.ab0，cd0 = acbd.(叠
2、乘性),2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用比较法证明不等式的步骤是：作差变形定号.其中的“变形”可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商变形与1比较大小.,1.设a0，-1b0，则a，ab，ab2三者的大小关系为_. 2.设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR且x1，则A，B的大小关系为A_B. 3.若n0，用不等号连接式子 _ 3-n,课 前 热 身,aab2ab,4.若0a1，则下列不等式中正确的是( ) (A)(1-a)(1/3)(1-a)(1/2) (B)log(1-a)(1+a)0 (C)(1-a)3(1+a)2 (D
3、)(1-a)1+a1,5.已知三个不等式：ab0，-ca-db，bcad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_个正确的命题.,A,3,能力思维方法,1. 比较xn+1+yn+1和xny+xyn(nN，x，yR+)的大小.,【解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式的分解常用分组分解法.,2. 设a0，b0，求证：,【解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差(商)变形判断符号(与“1”比较)；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比较
4、大小. (2)证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：,【解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持一致.,3. 已知x0，y0，求证：,延伸拓展,【解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理的严密性.,4. 设0a1，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+ logxa在 上是增函数.,误解分析,(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.,(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键.,第2节 用综合法、分析法证明不等式,要点疑点考点,2.综合法的难点在于从何处出发
5、进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.,1.不等式证明的分析法和综合法是从整体上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式.,3.若 恒成立.则常数a的取值范 围是_.,1.当a1，0b1时，logab+logba的取值范围是_.,课 前 热 身,(-，-2,2.设 ，则函数 的最小值是_， 此时x=_
6、.,4.设a、b、cR+，则三个数 的值( ) (A)都大于2 (B)至少有一个不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一个不小于2,D,能力思维方法,1.已知a，b，c都是正数，且ab，a3-b3=a2-b2，求 证：1a+b,【解题回顾】本题证明a+b1采用了综合法，而证 明a+b 是采用了分析法.在证题时，从已知条件 出发，实行降幂变换，证出了a+b1；而从结论出 发，实行升幂变换，导出a+b 这是两种不同的 思维程序.,【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常
7、用方法. (2)注意条件中1的代换与使用.,2.(1)设a，b，c都是正数，求证： (2)已知a、b、cR+，且a+b+c=1.求证：,【解题回顾】利用|a|2a2(aR)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化.,4.已知ab0，求证：,【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够同时进行证明.,延伸拓展,【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标.,5.设a1，a2R+，a1+a21，1，2R+，求证：,误解分
8、析,1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因.,2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.,第3节 算术平均数与几何平均数,要点疑点考点,1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式： (1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)； (3) (ab0)； (4) (a，bR). 以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取值要求.,2.理解四个“平均数”的大小关系；a，bR+，则 其中当且仅当ab时取等号.,3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最
9、值”.当条件不完全具备时，应创造条件.,4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p，那么当xy时，x+y有最小值 ； (2)x+y为定值s，那么当xy时，积xy有最大值 .,1.“a0且b0”是“ ”成立的( ) (A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，则两车到达B地的情况是( ) (A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地 (C)同时到达 (D)不能判定,课 前 热 身
10、,A,A,4.已知lgx+lgy1， 的最小值是_.,3下列函数中，最小值为4的是( ) (A) (B) (C) (D),C,2,5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) (A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里,C,能力思维方法,【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立.,1.设a，b，c都是正
11、数，求证：,2.(1)若正数x、y满足x+2y1.求 的最小值； (2)若x、yR+，且2x+8y-xy0.求x+y的最小值.,【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法： 错误的原因在两次运用 平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x2y，第二次须xy). 求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.,3.已知正数a、b满足a+b1. (1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值.,【解题回顾】用不等式解决有关实际 应用问题，一般先要将实际问题数学 化，建立所求问题的代数式，然后再 据此确定是解
12、不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值.,4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).,【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.,延伸拓展,误解分析,(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.,(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易
13、错.,第4节 不等式的解法,要点疑点考点,1.解一元二次不等式是解整式、分式不等式的基础.求解时应首先调整不等式中二次项系数a ，使a0.在熟练掌握一元一次不等式(组)和一元二次不等式解法的基础上，掌握分式不等 式、简单的高次不等式的解法. 2.掌握利用图形、数轴讨论不等式组解集的方法. 3.讨论一元二次不等式系数中的字母取值问题，常用到分解因式、判别式、求根公式、韦达 定理，还应充分考虑运用函数思想.,课 前 热 身,1.不等式(2/x)x+1的解集为_.,xx1或-2x0,2.已知函数f(x)=x2+ax+3，当x-2，2时，不等式f(x)a恒成立，求a的取值范围是_,-7 a2,3.不等
14、式(x-2)2(x-3)/(x+1)0的解集为 _.,x-1x2或2x3,4.不等式ax/(x-1)1的解集为xx1或x2，则 a=( ) (A)2 (B)-2 (C)12 (D)-12 5.已知不等式x2-4x+30，x2-6x+80，2x2-9x+m0，要使同时满足、的x也满 足，则有( ) (A)m9 (B)m9 (C)m9 (D)0m9,C ,C,能力思维方法,1.设mR，解关于x的不等式m2x2+2mx-30.,【解题回顾】解此不等式时，由于mR，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解.因 为当m0时，原不等式化为-30，此时不等式的解集为R，所以解题时应分m0与m0两种 情况来讨论. 在解出m2x2+2mx-30的两根为x1-3/m，x21/m后，认为-3/m1/m也是易出现的错误之处.这 时也应分情况来讨论：当m0时，-3/m1/m；当m0时，-3/m1/m., 2.解下列不等式： (1)(x+2)(x+1)2(x-1)(x-2)0； (2)(x2+2x-2)/(3+2x-x2)x.
