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1、第二章 数列极限,2.1 数列极限的概念,2.2 收敛数列的性质,2.3 数列极限存在的条件,2.1 数列极限的概念,一、概念的引入,二、数列的定义,三、数列的极限,四 、应用数列极限的定义证明数列极限的方法,一、概念的引入,引例,1 如何用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.,A1,A2,A3,A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , .,显然n越大, An越接近于S.,因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义
2、,例如,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,数列极限来自实践，它有丰富的实际背景.我们的祖 先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念,例1 战国时代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列, 如图所示,三、数列的极限,（c11(k)） 其长度组成的数列为,随着n 无限的增加, 木棒的长度无限的趋近于零。,例如,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列xn的极
3、限, 或称数列xn收敛a, 记为,数列极限的通俗定义,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,三、数列的极限,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |
4、xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.,分析,因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.,当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a, 则数列xn收敛a.,下页,数列极限的精确定义,设xn为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数e 总存在正整数N 使得当nN 时 不等式 |xna |e 总成立 则称常数a是数列xn的极限 或者称数列xn收敛于a 记为,如果不存在这样的常数a 就说数列xn没有极限, 0, NN 当nN时 有|xna| .,极限定义的简记形式,如果数列没有极限,就说数列是发散
5、的.,注意：,几何解释:,其中,注,定义1习惯上称为极限的N定义，它用两个 动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna| 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正数 N，30，不等式|xna|（n N）,定义中的具有二重性：一是的任意性，二是 的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过的相对固定性来实现）。,定义中的N是一个特定的项数，与给定的有关。 重要
6、的是它的存在性，它是在相对固定后才能确定的，且由|xna|来选定，一般说来，越小，N越大，但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn 以a 为极限时，关键在于设法由给定的，求出一个相应的N，使当n N时，不等式|xna|成立。,在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示,|xna| ,n N,定义中的不等式|xna| （n N）是指下面 一串不等式,都成立，,而对,则不要求它们一定成立,数列极限的几何意义,使得 N 项以后的所有项,都落在a点的邻域,因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点,这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外 都能凝聚在点a的任意小邻域
7、内，同时也表明数列xn 中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。,OK! N找到了！,nN,目的：,NO, 有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,分析:,例1,证明,下页, 0, NN 当nN时 有|xna| .,利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式 |xna|不易考虑，往往采用把|xna|放大的方法。 若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单 的不等式去寻找项数指标N,放大的原则： 放大后的式子较简单 放大后的式子以0为极限
8、,例 2 证明,证明,则当n N时，有,例3. 证明 分析，要使 （为简化，限定 n 只要 证. 当 n N 时有 由定义 适当予先限定 nn。是允许的！但最后取 N 时要保证nn。,. 例4.证明 （K为正实数） 证：由于 所以对任意0，取N= , 当 nN时, 便有,例5,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,例6,证,例7,证,由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤：,2 适当放大,，通常放大成,的形式,， 求出需要的,1 化简,3 解,总结 用定义求极限或证明极限的关键是适当放大不等式，关键的追
9、求有两点，一是把隐性表达式变成显性表达式，在重锁迷雾中看清庐山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得过份。,四 收敛的否定:,数列,发散,五 数列极限的记註:,1 满足条件 “ ”的数列: 。 2,改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:,3 数列极限的等价定义:,对,对任正整数,六 无穷小数列:,定义 极限为0的数列称为无穷小量（无穷小量是指一个极限概念，趋向常数0）,命题1.,的极限为n ,是无穷小量.,变量有极限,的充要条件为它可分解为,加一个无穷小量。,命题2,无穷小量加绝对值仍为无穷小量。,命题3,无穷小量与有界变量的积仍为
10、无穷小量。,命题4,小结,(1), 数列极限的定义;,(2), 数列极限的几何意义;,(3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法.,2.2 收敛数列的性质,1、唯一性 2、有界性 3、保号性 4、保不等式性 5、四则运算 6、迫敛性 7、子数列的收敛性,1、唯一性,定理2.2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,2、有界性,例如,有界,无界,定理2.3 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,例1,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,3保序性,从而,定理2.6 (收敛数列的保号性)
11、 如果数列xn收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整数N 当nN时 有xn0(或xn0),4 保号性,推论 如果数列xn从某项起有xn0(或xn0) 且数列xn收敛于a 那么a0(或a0),这说明若数列 收敛且极限不为零，则当n充分大时， 与0的距离不能任意小.这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到.,证,5 迫敛性,( 双逼原理 ),上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例2,解,由夹逼定理得,6 绝对值收敛性:,( 注意反之不成立 ).,推论 设数列 , 和 , 收敛, 则,7数列极限的四则运算法则,例5 求,例4 求,解： 分 a=1， |a|1 三种情况,解
12、：（分子有理化）,例3 求,8、子数列的收敛性,注意：,例如，,定理7 收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,例6,对于数列xn,证,此时有,此时有,总之：,恒有,Th ( 数列收敛充要条件 ) , 收敛,Th ( 数列收敛充要条件 ) , 收敛,子列 , 和 ,收敛于同一极限., 的任何子列收敛,于同一极限.,Th ( 数列收敛充要条件 ) , 收敛,子列 ,、,都收敛.,和 ,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而
13、缩小为,小结,(1), 唯一性;,(2), 有界性;,(3), 保号性;,(4), 四则运算法则;,(5), 不等式性;,(6), 收敛数列与其子列的关系.,2.3 数列极限存在的条件,一 数列收敛的一个充分条件 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则 三 关于极限 四 数列 单调有界证法欣赏,一 单调有界原理,定义 称为单调上升的，若,称为单调下降的，若,单调增加和单调减少数列统称为单调数列,提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？,定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,定理1的几何解释,以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移动 或者无
14、限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界数列只可能后者情况发生,数列极限存在的条件,数列极限存在的条件,定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限,证明,例1 设,证明数列 收敛.,例2,例3,(n重根号), ,证明数列,单调有界, 并求极限.,求,( 计算,的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).,解 由均值不等式, 有,有下界;,注意到对,有,有,例4,1）证明序列,的极限存在；,2）求极限,解 1） 因,时有,所以,即有,故序列,下降。因此序列极限存在，记极限,值为c。于是,这表明序列,有下界。又,或,2） 因,所以,又,即得,二 数列收敛的充要条件 Cauchy收敛准则,1 Cauchy列：,如果数列,具有以下特性：,则称数列,是一个基本数列.（ Cauchy列）,2 Cauchy收敛准则：,定理 数列,收敛的充要条件是：,是一个基本数列.,数列,收敛,或,数列极限存在的条件,定理的几何解释,柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是
