[高等教育]第三章 平均指标和变异指标

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1、5-1,第三节 平均指标和变异指标,平均指标的概念和作用 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数和中位数 正确计算和运用平均指标的原则 标志变异指标,5-2,第一节 平均指标的概念和作用,一、平均指标的概念,概念平均指标又称平均数，它是将一个同质总体各单位之间量的差异抽象化，用一个指标来代表总体各单位的一般水平，是对总体分布集中趋势或中心位置的度量。 特点：差异抽象化 同质总体 一定时间、地点、条件,5-3,二、平均指标的作用,2、作用 使不能直接对比的现象可以比较；反映总体一般水平；测定总体分布的集中趋势；某些科学预测、决策和某些推算的依据。 3、种类 时间状况-静态平均数和动态平均数 计

2、算方法-数值平均数和位置平均数,5-4,静态平均数是指同质总体内，将各单位数量差异抽象化，以反映总体在一定时间、地点、条件下的一般水平。,动态平均数是不同时间、同类社会经济现象一般水平。又称序时平均数。（具体见第六章）,按时间状况分,5-5,数值平均数根据总体各单位标志值计算。如算术平均数、调和平均数、几何平均数等。,位置平均数总体中所处特别位置确定或根据部分标志值计算。如众数、中位数等。,按计算方法分,5-6,第二节、算术平均数,一、算术平均数基本公式 例： 平均工资=工资总额/职工人数 平均成本=总成本/产量 注意：平均数和强度相对数的区别。,见课本P63,5-7,区别,统计平均数：是由同

3、一总体的两个总量指标进行对比而求得，即是由同一总体的总体标志总量与总体单位数进行对比求得。如：平均亩产量等。 强度相对数：是由两个性质不同的总体总量对比而求得。如：人均国民产值、人口密度等。,5-8,二、算术平均数的计算方法,（一）简单算术平均数,6名学生的考试成绩分别为（分）：79、82、87、60、95、91，他们的平均成绩是多少？ （79+82+97+60+95+91）/6=84（分）,5-9,计算公式,5-10,（二）加权算术平均数,当数据已分组，形成了变量数列，还能不能像上例那样计算？,5-11,加权算术平均数,见课本P47 公式53、54,5-12,5-13,不符合基本公式，不是5

4、个工人，而是800个工人；工人的总产量不是60件，而是9710件,所以，应该这样计算：,5-14,5-15,5-16,5-17,某企业职工按月工资分组,5-18,(4) 算术平均数的特点和数学性质,特点 算术平均数受变量值和变量值出现次数的共同影响； 算术平均数靠近出现次数最多的变量值； 算术平均数受极端变量值的影响；,5-19,算术平均数的几个主要数学性质,（一）平均数与次数和的乘积等于所有变量值（数量标志值）的总和。即：,具体见P67,5-20,（二）所有变量值与平均数的 离差之和等于零,5-21,（三）各个变量值与平均数离差平方之和为最小,5-22,第三节 调和平均数（倒数平均数）各标志

5、倒数的算术平均数的倒数。 常作为加权算术平均数的变形公式使用。仍是总体的标志总量与总体单位总量的对比，仅仅是因为资料的不同，需要将算术平均数变形。 某供销社分三批收购某种农副产品，其收购单价及各批收购额如下,5-23,5-24,调和平均数,例：某生产组有5个工人，其日产量分别为4、5、6、7、8件。工人日产量的倒数，分别为： 这些倒数的 平均数为：,见课本P47例,5-25,调和平均数，是各个变量值倒数平均数的倒数，即：,5-26,5-27,5-28,例：某公司一月份实际总产值1000万元，刚好完成计划。二月份实际总产值为800万元，仅完成计划的90，三月份实际总产值为1200万元，超额完成计

6、划16，所以，第一季度超额2完成总产值计划，即（0+1610）3=2这样计算对不对，为什么？,5-29,第四节 几何平均数 几何平均数的概念：是n个变量值连乘积的n次方根。,例 某企业生产某种产品要经过三道工序，各工序的合格品率分别为95%、96%和98%。该产品三道工序的平均合格品率为多少？,三道工序的平均合格品率为96.32%.思考平均废品率为多少？,5-30,几何平均数通常用在总量等于各分量乘积的情形。比如，求平均比率，平均发展速度等。,5-31,例1 某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的不合格率分别为5%、8%、10%、15% 、 20%，整个流水线产品合格率？ 例2 某

7、金融机构以复利方式计息。近12年来的年利率有4年为3%、2年为5，2年为8%、3年为10%、 1年为15%。则12年的平均年利率？,平均年利率=106.82%-1=6.82,5-32,F终值 P现值 i利率 n时间（年）,5-33,三 众数和中位数 （一 ） 众数（ ）,定义：众数是指总体中出现次数最多或频率最大的变量值（数据），用 表示，众数是一种位置平均数，且也不受极端值的影响,5-34,例,根据某班学生年龄分组见下表，求众数。,经观察发现，20岁的学生人数最多，众数为20岁,5-35,是众数所在组的下限； 是众数所在组与前一组次数之差； 是众数所在组的次数与上（后）一组次数之差；,是众数

8、组的组距。,下限公式,5-36,5-37,公司职工按月工资分组,众数最不受极端变量值的影响。,5-38,二 中位数（Me）,中位数是根据变量值的位置来确定的平均数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的变量值（或数据）即中位数，用（Me)表示。由于中位数是位置代表值，所以也不会受极端值的影响，具有较高的稳健性。 资料未分组的情况下，中位数的位置可由(n+1)/2来确定。,5-39,中位数确定,单项式 分组,5-40,在组距数列中确定中位数：,计算向上（下）累计次数；,确定中位数的位置k=N/2和所在组；,用公式确定中位数,5-41,其中 为中位数组的下限； 为总次数； 为中位数所在组前一组的向

9、上累计次数； 为中位数组的次数； 为中位数组的组距。,下限公式：,例见课本P51,5-42,5-43,某公司职工按月工资分组,5-44,中位数具有不受极端变量值的影响的特点，比算术平均数稳健。,5-45,第六节 正确运用平均指标的原则,一、平均指标只能用于同质的总体 二、用组平均数来补充说明总平均数 三、用分配数列来补充说明总平均数 四、平均指标要与变异指标结合运用,具体见P5556,5-46,练习题,一、判断题 1、平均数指标将总体内各单位的数量差异抽象化了，所以平均数指标数值的大小与总体单位标志值无关。（ ） 2、调和平均数和几何平均数是算术平均数的变形，它们本质上是一致的。（ ） 3、当

10、各组的单位数相等时，各组的单位数占总体单位数的比重也相等，所以权数也就没有作用了。（ ）,5-47,4、由于所掌握的资料不同，加权调和平均数实际上是加权算术平均数的变形。（ ） 5、中位数和众数数值的大小与数列中的极端值无关，它们是位置平均数。（ ） 6、几何平均数的应用条件是：变量值的连乘积等于总比率或总速度的现象。（ ）,5-48,二、单项选择题,1、变量值40、50、60、70与54的离差之和为（ ）。 A、零 B、非零 C、负数 D、55 2、某班51名同学进行考试，8人耗时50分钟，23人耗时60分钟，20人耗时70分钟，计算该班学生平均耗时应采用（ ）。 A、简单算术平均数 B、加

11、权算术平均数 C、简单调和平均数 D、加权调和平均数 3、如果变量值中有一项为零，则不能计算（ ）。 A、算术平均数和调和平均数 B、调和平均数和几何平均数 C、算术平均数和众数 D、几何平均数和中位数,B,B,B,5-49,三、作业,1、某集贸市场上市的5种活鱼的价格分别为：4元、5 元、8元、9元和11元，试计算： （1）5种活鱼各买一斤，平均每斤多少钱？ （2）5种活鱼各买10元钱，平均每斤多少钱？ 2、某汽车装配厂三个车间的废品率、产量资料如下表：,要求计算：（1）如三个车间各自负责一辆汽车装配的全过程，平均废品率为多少？ （2）如三个车间分别负责汽车装配的一道工序，平均废品率为多少？

12、,5-50,计算题（第3题）,3、以下统计分析报告所用平均数指标有何不当，应如何计算，请改正过来。 本厂三个车间一季度生产情况是：第一车间实际产量 760件，完成计划95；第二车间实际产量650件，完成计划 100；第三车间实际产量1260件，完成计划105。（1）、因此三个车间产品产量的平均计划完成程度为： （2）、第一车间人均产量9.5件，第二车间人均产量13件，第三车间人均产量10.5件，则三个车间平均每人生产产品件数为：,5-51,解：,5-52,第4节 标志变异指标,变异指标的概念和作用,变异指标的种类,变异系数,5-53,设某车间有如下两个生产小组，某周 5天的产量： 甲：171，

13、172，172，172，173（件） 乙：220，190，170，150，130（件） 不难看出两组的平均日产量均为172件。平均日产量172件的代表性甲组比乙组好。,5-54,一 标志变异指标概念：见P57 它反映着总体各单位标志值的差异大小或程度。 变异指标反映平均数的代表性，总体单位变量值的离中趋势。变异指标越大，平均数代表性越小；变异指标越小，平均数代表性越大。 作用：,见课本P57,5-55,二、变异指标的计算方法,1、全距(极差)：最大的变量值与最小的变量值之差。用表示 。即 。 2、平均差 是各标志值对其算术平均数的离差绝对值的平均数。,见课本P5859,5-56,计算平均差步骤

14、： 第一步，求各标志值与算术平均数的离差； 第二步，求离差的绝对值； 第三步，将离差绝对值的总和除以项数（n）或总次数 具体见P59例342和例344 平均差数值越小，其平均数的代表性越大。,5-57,3、标准差 标准差总体中各单位标志值与算术平均数的离差平方的算术平均数的平方根。又称为均方根差。 它是测度标志变异最重要，最常用的指标。,见公式P6162,5-58,适用资料已分组,适用资料已分组,5-59,计算标准差一般步骤： 第一步，计算各个标志值x对算术平均数 的离差； 第二步，将各项离差加以平方: 第三步，求出这些离差平方的算术平均数； 第四步，将离差平方的算术平均数开方，即得出标准差。

15、,具体见P61例344 和例345、6,5-60,（分）,（分）,5-61,课堂练习：1、某厂工人按工资分组的资料如下：,根据上面资料计算该厂工人日工资的标准差。,5-62,答案,说明：本题所给资料是一组距数列，因此，应先计算出各组的组中值，然后运用加权平均式计算标准差。由于题中未直接给出公式中的权数 f ,而只给出了工人数比重，即权数系数f / ，因而可将标准差的计算公式变形为：,5-63,4、是非标志的标准差（也称为交替标志的标准差）,在统计研究中，经常遇到这样分组情况，把全部总体单位分为具有某一标志或不具有某一标志两组。例如，把全部产品分合格的、不合格的两组，把全体职工分为男、女两组，或

16、分为出勤和缺勤两组；把分析问题分为对和错等。这种用“是”“否”或“有”“无”来作断定的标志，称为是非标志。 是非标志只有两种情况，假定用：“1”来表示具有这一标志，有“0”表示不具有这一标志，即0，1分布。,5-64,是非标志也可以计算算术平均数和标准差。 现设在总体中具有某一标志的单位数为n1，不具有某一标志的单位数为n0，那么总体单位数n=n1+n0，用P代表具有某一标志的单位数在总体中所占的比重（或成数），即P=n1/n，用q代表不具有某一标志单位数在总体中所占的比重，即q=n0/n，P+q=1。计算是非标志的算术平均数，如下表：,5-65,是非标志的平均数计算表,计算是非标志的算术平均数( )的公式： 是非标志的标准差（）的公式 因此，是非标志的算术平均数就是具有某一标志的单位数在总体中的比重（成数）。是非的标准差经常用具有某