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1、2019/1/17,1,概率论与数理统计,2,第一章 概率论的基本概念,样本空间 随机事件 频率和概率 条件概率 事件的独立性,3,1 随机试验,确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定,自然界与社会生活中的两类现象,4,例： 向上抛出的物体会掉落到地上（确定） 打靶，击中靶心（不确定） 买了彩票会中奖（不确定）,5,6,概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的学科。,7,对随机现象的观察、记录、实验统称为随机试验。它具有以下特性：,可以在相同条件下重复进行； 事先知道可能出现的结果； 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生。,8,例： 抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记
2、下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；,9,2 样本空间随机事件,(一)样本空间 定义：随机试验E的所有结果构成的集合称为E的 样本空间，记为S=e， 称S中的元素e为样本点，一个元素的单点集称为基本事件,10,例： 一枚硬币抛一次 记录一城市一日中发生交通事故次数 记录一批产品的寿命x 记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y,11,S=正面，反面；,S=0,1,2,；,S= x|axb ,S=(x,y)|T0yxT1；,12,(二) 随机事件 一般我们称S的子集A为E的随机事件A，简称事件A.当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。,13,随机事件有如下特征
3、： 任意一事件A是相应的样本空间S的一个子集，其关系可用维恩(Venn)图来表示； 事件A发生当且仅当A中的某一个样本点出现； 事件A的表示可用集合，也可用语言来表示。,14,S=0,1,2,；,A=至少有10人候车=10,11,12, S，A为随机事件， A可能发生，也可能不发生。,例：观察89路公交车浙大站候车人数。,15,由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，故又称S为必然事件。 为方便起见，记为不可能事件，不包含任何样本点。,16,(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）,17,例： 记A=明天天晴，B=明天无雨 记A=至少有10
4、人候车，B=至少有5人候车 抛两颗均匀的骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x,y.记A=x+y为奇数，B=两次的骰子点数奇偶性不同 ，则,18,事件的运算,A与B的和事件，记为,19,事件的运算,A与B的积事件，记为,20,当AB= 时，称事件A与B是互不相容的，或互斥的。,21,22,23,“和”、“交”关系式,24,例：设A= 甲来听课 ，B= 乙来听 课 ，则：,甲、乙至少有一人来,甲、乙都来,甲、乙都不来,甲、乙至少有一人不来,25,概率中常有以下定义：由n个元件组成的系统，其中一个损坏，则系统就损坏，此时这一系统称为“串联系统”；若有一个不损坏，则系统不损坏，此时这一系统称为“并联系统
5、”。,26,例： 由n个部件组成的系统，记 串联系统： 并联系统：,27,3 频率与概率,(一)频率 定义：记 其中 A发生的次数(频数)； n总试验次数。称 为A在这n次试验中发生的频率。,28,例： 中国男子国家足球队，“冲出亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，在这n次试验中“冲出亚洲”这事件发生的频率为,29,某人一共听了16次“概率统计”课，其中有12次迟到，记A=听课迟到，则,频率 反映了事件A发生的频繁程度。,30,频率的性质：,例：抛硬币出现的正面的频率,32,33,频率的重要性质： 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p,34,定义2：将概率视为测度，且满足： 称P(A)为事件A的概
6、率。,(二) 概率 定义1： 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p,35,性质：,36,37,38,39,40,41,42,43,例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率均为0.4，其中至少有两人参加的概率为0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至少有一人参加的概率。,44,解：设A, B, C分别表示甲, 乙, 丙参加，由条件知 P(A) = P(B) =P(C) = 0.4, P(AB AC BC) = 0.3, P(ABC) = 0.05.,45,由0.3P(AB AC BC) = P(AB) + P(AC) + P(BC) 2P(ABC), 得 P(AB) + P(AC) + P(B
7、C) = 0.3 + 2P(ABC) = 0.4,46,因此， P(甲乙丙至少有一人参加） = P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) -P(AB) - P(AC) - P(BC)+ P(ABC) = 0.85.,47,4 等可能概型（古典概型）,定义：若试验E满足： S中样本点有限(有限性) 出现每一样本点的概率相等(等可能性),称这种试验为等可能概型(或古典概型)。,48,例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。 （1）从袋中随机摸一球，记A= 摸到红球 ，求P(A) （2）从袋中不放回摸两球，记B=恰是一红一黄，求P(B),49,解
8、：(1),50,例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak恰有k件次品（kD)，求P(Ak),51,（注：当Lm 或 L0时，记 ）,解：,52,例3：将n个不同的球，投入N个不同的盒中(nN)，设每一球落入各盒的概率相同，且各盒可放的球数不限，记A 恰有n个盒子各有一球 ，求P(A),53,解：n个球放入N个盒子中，总样本点数为 ，使A发生的样本点数,54,应用（生日问题）在一个n（365）人的班级里，至少有两人生日相同的概率是多少？,55,解：,56,例4: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记abn设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球，不放回地摸n次。求第k
9、次摸到红球的概率。,57,可设想将n个球进行编号： 其中,将n个人也编号为1,2,n,58,-与k无关,视 的任一排列为一个样本点，每点出现的概率相等。,解：,59,总样本点数为 ，每点出现的概率相等，而其中有 个样本点使 发生，,解2： 视哪几次摸到红球为一样本点,60,解3：将第k次摸到的球号作为一样本点,61,此值不仅与k无关，且与 a，b都无关，若a0呢？对吗？ 为什么？,错，这不是等可能概型,红色,解4：记第k次摸到的球的颜色为一样本点S红色,白色，,62,例5：（配对问题）一个小班有n个同学，编号为1, 2, , n号，中秋节前每人准备一件礼物，相应编号为1, 2, ,n。将所有礼
10、物集中放在一起，然后每个同学随机取一件，求没有人拿到自己礼物的概率。,63,解：设Ai表示第i人拿到自己的礼物，i=1,2,n， A表示至少有一人拿到自己的礼物。,64,65,66,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。,67,例6：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是有规定的?,68,解：假设接待站的接待时间没有规定，而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周二、周四的概率为 212/712 =0.000 000 3.,69,现在概
11、率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此，有理由怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者，即认为其接待时间是有规定的。,5 条件概率,例：一个家庭中有两个小孩，已知至少一个是女孩，问两个都是女孩的概率是多少？ （假定生男生女是等可能的）,71,解：,由题意，样本空间为,表示事件“ 至少有一个是女孩”，,72,由于事件A已经发生，所以这时试验的所有可能结果只有三种，而事件B包含的基本事件只占其中的一种， 所以有,在这个例子中，若不知道事件A已经发生的信息，那么事件发生的概率为,这里,其原因在于事件 的发生改变了样本空间，使它由原来的 缩减为 ，而 是在新的样本空间 中由古典概率的计算
12、公式而得到的,例：有一批产品，其合格率为90%，合格品中有95%为优质品，从中任取一件， 记A=取到一件合格品， B=取到一件优质品。 则 P(A)=90% 而P(B)=85.5%,75,记：P(B|A)=95% P(A)=0.90 是将整批产品记作1时A的测度 P(B|A)=0.95 是将合格品记作1时B的测度 由P(B|A)的意义，其实可将P(A)记为P(A|S)，而这里的S常常省略而已，P(A)也可视为条件概率。,76,分析：,77,一、条件概率 定义： 由上面讨论知，P(B|A)应具有概率的所有性质。 例如：,78,二、乘法公式 当下面的条件概率都有意义时：,79,80,例：一盒中有5
13、个红球，4个白球，采用不放回抽样，每次取一个，取4次，（1）已知前两次中有一次取到红球，求前两次中恰有一次取到红球的概率；（2）已知第4次取到红球，求第1，2次也取到红球的概率。,81,解：Ai表示第i次取到红球，i=1,2,3,4，B表示前两次中有一次取到红球，C表示前两次中恰有一次取到红球的概率。,82,例：某厂生产的产品能直接出厂的概率为70%，余下的30%的产品要调试后再定，已知调试后有80%的产品可以出厂，20%的产品要报废。求该厂产品的报废率。,83,解：设 A=生产的产品要报废 B=生产的产品要调试 已知P(B)=0.3，P(A|B)=0.2，,84,例：某行业进行专业劳动技能考
14、核，一个月安排一次，每人 最多参加3次；某人第一次参加能通过的概率为60%；如 果第一次未通过就去参加第二次，这时能通过的概率为80%；如果第二次再未通过，则去参加第三次，此时能通过的概率为90%。求这人能通过考核的概率。,85,解：设 Ai= 这人第i次通过考核 ， i=1,2,3 A= 这人通过考核 ，,86,87,亦可：,88,三、全概率公式与Bayes公式,定义：设S为试验E的样本空间，B1, B2, , Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。,89,即：B1,B2,Bn至少有一发生是 必然的，两两同时发生又是不可能的。,90,设试验E的
15、样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,Bn为S的一个划分，P(Bi)0，i=1,2,n；则称：,定理：,91,证明,注：在运用全概率公式时，一个关键是构造一组合适的划分。,92,* 全概率公式可由以下框图表示： 设 P(Bj)=pj, P(A|Bj)=qj, j=1,2,n 易知：,S,P1,P2,. . .,B2,q2,q1,qn,Pn,93,更进一步，设试验E的样本空间为S，A和C为E的事件。B1, B2, , Bn为S的一个划分，P(BiC)0，i=1, 2, , n；P(C )0, 则称： 为条件概率的全概率公式。,94,定理：接上面全概率公式的条件，且P(A)0,则,称此式为Bayes公式。,95,例：一单位有甲、乙两人，已知甲近期出差的概率为70%，若甲出差，则乙出差的概率为10%；若甲不出差，则乙出差的概率为60%。 (1)求近期乙出差的概率； (2)若已知乙近期出差在外，求甲出差的概率。,96,解：设A=甲出差，B=乙出差,97,Bayes公式,98,例：根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有5%的假阳性及5%的假阴性： 若设A=试验反应是阳性， C=被诊断患有癌症 则有： 已知某一群体P(C)=0.005，问这种方法能否用于普查？,99,若P(C)较大，不妨设P(C)=0.8推出P(C|A)=0.
