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1、,2.4 方阵的逆矩阵,定义2.9 A为n阶矩阵，如存在n阶方阵B，使得,一、 逆矩阵的基本概念,称A为可逆矩阵或非奇异矩阵， 称B为A的逆矩阵，,AB = BA = I ,(* A, B为同阶方阵),如,A可逆， A的逆矩阵为B.,简称A可逆.,否则称A为不可逆矩阵或奇异矩阵.,解：待定系数法，设,例1,问A是否可逆， 若A可逆，求逆矩阵.,*A的逆矩阵记作A-1.,定理2.1 方阵A如可逆，则它的逆矩阵是唯一的.,证明: 设B ,C都为A的逆矩阵，,注意:,A-1是逆矩阵的记号，不是,二、 方阵可逆的条件及逆矩阵的性质,定理2.2 n阶矩阵A可逆，则 |A|0.(称A为非奇异矩阵).,定义
2、2.10 设A= (aij)nn,则称n阶方阵,为A的伴随矩阵.,Aij为|A|中元素aij的代数余子式，,证明: A的可逆,存在同阶方阵B，,AB = BA = I ,|A| |B|= |I |=1,0，,|A|0.,= (Aji)nn,例2,求A的伴随矩阵A*.,A A*= A*A=|A| I,证明:,定理2.3 A 为n阶方阵，,定理2.4 |A|0,且,证明:,n阶方阵A可逆，,A A*= A*A=|A| I,A可逆,推论2.1 AB =I 或BA = I，,证明:,A, B都可逆.,则A, B互逆，且,同理,例3 判断矩阵A是否可逆，若可逆,求A-1.,解:,A可逆,由例2,注意:,
3、(1) A*的元素的排列顺序,|A|的第 i 行元素的代数余子式，排在A*的第 i 列上;,(2) 用A A-1=I ， 检验A-1是否计算正确.,练习:判断 是否可逆，若可逆，求A-1.,A可逆，,例4 求二阶矩阵A的逆矩阵,解:,A可逆,注意:主交换，次变号，前行列式的倒数.,方阵逆阵的运算规则,(1)若A可逆，则A-1也可逆，且 (A-1)-1 =A;,(3) 若A,B为同阶可逆矩阵，则AB 也可逆，且,(AB)-1 = B-1A-1 ;,证明:,推广:,(4)若A可逆，AT也可逆， 且,(2)若A可逆，0，则A也可逆，且,(5)若A可逆，Ak也可逆，且,例5 设方阵A 满足A3 - 4
4、A2 + 3A I = O,解:,A可逆, A-3I可逆,证明A 与A 3I 均可逆，并求其逆矩阵.,练习 已知A2-2A-2I =O，证明A可逆，并求其逆矩阵.,A可逆,注意:,能写成,解矩阵方程:,第一步: 求逆矩阵;,第二步: 用矩阵乘法计算.,例6 解矩阵方程:,解:,注意: 一般,例如,特殊矩阵的逆矩阵:,1. 单位矩阵I 可逆，,2. 数量阵a I 可逆的充要条件是 a0,3. 对角阵,可逆的充要条件是ai0,可逆时，,i =1,n,可逆时,4. 上三角阵,可逆的充要条件是 aii0，i=1,n,可逆时,(2) A可逆,A*可逆，,证明：A可逆时,(2) A可逆,A*可逆,一些结论
5、,(4),注意: (1),(3),(4)在A不可逆时仍成立.,例7 化简,解: 原式=,例8 设A、B 、A+B均可逆，证明A-1+B 1也可逆，并求其逆矩阵.,证明:,A-1+B 1可逆，且,可得：,例9 设A,B满足,求B.,解:,例10 实矩阵A= (aij)33中，a11 0，Aij= aij (i,j=1,2,3), Aij为aij的代数余子式， 求|A|.,解:,则A可逆，,或,小结：,1. 逆矩阵的定义;,2. 逆矩阵的唯一性定理;,3. 逆矩阵的存在性定理;,A是非奇异矩阵,A可逆,4. AB =I，则A, B都可逆，且,5. 解矩阵方程;,6. 逆矩阵的性质；,7. 特殊矩阵的逆矩阵;,8. 伴随矩阵的性质.,思考题,证明:,思考题答案,练习题,1. 设n阶方阵A,B 满足A*BA = 8BA-5I，且|A|=2 , | I - 4A |0， 求B.,2. 设n阶方阵A,B 满足A2+AB+B2 =O， 若B可逆， 证明A与A+B均可逆，并求其逆矩阵.,参考答案,1.解: |A|=2 ,A可逆,A A*= A*A=|A| I,AA*BA A-1 = A( 8BA-5I ) A-1,2B= 8AB-5I,(2I - 8A) B= -5I,| I-4A|0,I -4A可逆,B = -2/5(I -4A) -1,2. 证明:,A与A+B均可逆;,
