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1、高等学校经济学类核心课程,计 量 经 济 学,Econometrics,4.4 随机解释变量问题,一、随机解释变量问题 二、实际经济问题中的随机解释变量问题 三、随机解释变量的后果 四、工具变量法 五、案例,基本假设:解释变量X1,X2,Xk是确定性变量。如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，则称原模型出现随机解释变量问题。,一、随机解释变量问题的含义,对于模型,在解释变量为确定性变量的假定下，解释变量与随机误差项独立，从而意味着：,当解释变量为随机变量时，解释变量有可能会与随机误差项产生相关。具体而言，可能有三种情况：（不妨设X2为随机变量）,1. 随机解释变量与随机误差项独立(Indep
2、endence),2. 随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。,3. 随机解释变量与随机误差项同期相关(contemporaneously correlated)。,二、实际经济问题中的随机解释变量问题,在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机性。 但是在单方程计量经济学模型中，一般都将解释变量认为是确定性的，而不去考虑其随机性。 于是随机解释变量问题主要发生于用滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。 这是缘于经济活动的连续性，被解释变量的现期值往往会受到若干前期值的影响。因此模型需要包含被解释变量的滞后期变量。,例1：
3、耐用品存量调整模型,耐用品的存量Qt由前一个时期的存量Qt-1和当期收入It共同决定： Qt=0+1It+2Qt-1+t t=1,T,这是一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。 但是，如果模型不存在随机误差项的序列相关性，那么随机解释变量Qt-1只与t-1相关，与t不相关 属于上述的第2种情况：同期无关而异期相关。,例2：合理预期的消费函数模型,合理预期理论认为消费Ct是由对收入的预期Yte所决定的：,预期收入Yte与实际收入Y间存如下关系的假设,容易推出,其中：Ct-1是一随机解释变量，且与 (t-t-1)高度相关。 属于上述第3种情况：同期相关。,在对OLS估计量的小样本性质（无偏性和有效
4、性）的证明过程中使用了解释变量为非随机变量，从而X与不相关的假定。 计量经济学模型一旦出现随机解释变量，且与随机扰动项相关的话，如果仍采用OLS法估计模型参数，将影响到参数的所具有的优良性质。 为便于理解随机解释变量对参数性质的影响，先介绍估计量在大样本下的渐进统计性质 主要包括：渐进无偏性和一致性,三、随机解释变量的后果,1、渐进无偏性,记,为样本容量为n时参数的估计量，如果满足：,则称,为的渐进无偏估计量,2、一致性,对上述,如果满足：,（plim表示概率极限）,则称,为的一致估计量,可以证明：,即：一致估计量一定是渐进无偏的，并且在真实值附近离散的程度随样本容量的增加而逐渐趋于0,注意：
5、 上述渐进统计性质仅在大样本条件下才有意义，而在小样本下不起作用。,# 随机解释变量的后果直观理解,（a）正相关,（b）负相关,拟合的样本回归线可能低估截距项，而高估斜率项。,拟合的样本回归线可能高估截距项，而低估斜率项。,以对一元线性回归模型为例分析不同情况下，随机解释变量问题对参数性质的影响。,参数1的OLS估计量为：,1、如果X与相互独立，得到的参数估计量仍然是无偏、一致估计量。,# 随机解释变量的后果理论分析,2、如果X与同期不相关，异期相关，得到的参数估计量有偏、但却是一致的。,kt的分母中包含不同期的X；由异期相关性知：kt与t相关，因此,但是,3、如果X与同期相关，得到的参数估计
6、量有偏、且非一致。,注意： 由上述分析可见，当随机解释变量与随机误差项相关时（异期相关或同期相关），OLS估计量将存在偏误，造成模型全面的失准。 特别地，对于存在滞后被解释变量作为解释变量的模型，滞后被解释变量最低限度都会与误差项异期相关，因此对于此类模型必须要解决随机解释变量问题。 如果异期相关，增加样本容量是解决问题的一个良好办法，但是对于同期相关，增加样本容量也无济于事。,从（2）的证明中可以看出。,四、工具变量法,所谓的工具变量法（instrumental variable method）是指： 当随机解释变量X与随机误差项相关时，寻找另一个与随机解释变量 X高度相关，但与随机误差项不
7、相关的变量Z，并在模型的估计过程 中用Z“代替”X去完成参数估计的一种方法。 其中变量Z称为工具变量（Instrument Variables,IV）。,1、工具变量法的含义,2、工具变量的选取,工具变量是在模型估计过程中作为工具使用，以替代与随机误差项相关的随机解释变量。被选择为工具变量的变量必须满足以下条件： (1) 与所替代的随机解释变量高度相关 (2) 与随机误差项不相关 (3) 与模型中的其它解释变量不相关（为什么？） (4) 如果同时使用多个工具变量，则工具变量间不相关,此外，通常要求工具变量最好是具有明确经济含义的外生变量，而非另外的随机变量。,3、工具变量的应用,考虑一元线性回
8、归模型如下：,用OLS估计模型，需要构造一个正规方程组。,工具变量的应用要点在于：在模型的估计过程中代替X进行参数估计。 # 以一元线性回归模型为例说明这一含义。,这一正规方程组相当于用1与Xi去乘模型两边、对i求和、再略去i与Xii项后得到的。,在基本假定下，由于：,这意味着在大样本下，有：,从而，略掉Xii项是合适的。,但当X随机，且与相关时，上式并不成立，所构造的正规方程组是无效的。, 如果选择Z为X的工具变量，在上述估计过程用对(*)式改用Zi乘以模型两边并求和，则有：,由于Cov(Zi,i)=E(zii)=0 ，即在大样本下，有：,此时可以略去Zii而得到一个有效的正规方程组：,这种
9、求模型参数估计量的方法即为工具变量法(instrumental variable method)，相应的上述估计量称为工具变量法估计量（instrumental variable (IV) estimator）。,解此正规方程组可得到：,由于Z与的无关性，保证了在大样本下正规方程组（#）的有效性，从而所获得上述参数估计大样本下满足相应的性质要求，具体而言，具有一致性。,特别地，对于多元线性回归模型（矩阵形式）： Y=X+ ,假设X2与随机项相关，其工具变量为Z，则采用工具变量法（用工具变量Z替代X）得到的正规方程组为：,参数估计量为：,其中:,称为工具变量矩阵,4、工具变量法估计量是一致估计量
10、,一元回归中，工具变量法估计量为,基于工具变量Z选取要求，有：,两边取概率极限得：,则有：,即在大样本下IV参数估计量具有一致性,5、对工具变量法的说明,（1）在模型估计方面，工具变量法并没有改变原模型，只是在原模 型的参数估计过程中用工具变量“代替”模型中的随机解释变量, 实际上，工具变量法估计过程等价于一种两步OLS回归： 1) 用X关于工具变量Z进行回归，得到X 2) 用Y关于X进行回归。 所以工具变量法仍是用Y对X的回归，而非Y对Z的回归。,（2）在参数性质方面: 大样本下，工具变量法估计量具有一致性， 小样本下，工具变量法估计量仍是有偏的。,（3）在实际应用过程中，一方面，寻求到一个
11、既与X高度相关，又与无关的工具变量并非易事。一般可以用Xt-1作为原随机解释变量Xt的工具变量。 另一方面，也有可能对同一个X找到多个符合要求的工具变量。此时选择的工具变量不同，参数估计值不一定一致，具有随意性。选择哪一个工具变量是一个技巧。解决的策略之一是广义矩估计（GMM）。,特别地，由于使用工具变量，有可能产生较高的标准差，从而不能保证参数估计值的渐进方差一定能够最小，即不能保证参数的渐进有效性。,（4）如果模型中有两个以上的随机解释变量与随机误差项相关，就必须分别为他们找到相应的工具变量进行替代。 但是，一旦工具变量选定，它们在估计过程被使用的次序将不影响估计结果(Why？)。,（5）
12、OLS可以看作工具变量法的一种特殊情况。,五、案例 （中国居民人均消费函数）,例4.4.1 在例2.5.1的中国居民人均消费函数的估计中，采用OLS估计了下面的模型：,由于：居民人均消费支出（CONSP）与人均国内生产总值（GDPP）相互影响，因此，容易判断GDPP与同期相关（往往是正相关） 因此：OLS估计量有偏并且是非一致的（低估截距项而高估计斜率项 ）。,OLS估计结果：,(13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7,如果用GDPPt-1为工具变量，可得如下工具变量法估计结果：,(14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5,工具变量法估计量，对OLS估计量对截矩项的低估和斜率项的高估作出了修正，而且各项检验指标也都有进一步的修正。,
