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1、高二数学（文科）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题 ，则 是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题的否定为：，故选C.2.已知函数的值域为集合，不等式的解集为集合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 由函数的值域为，不等式的解集为， 所以，故选C.3.下列命题为特称命题的是 （ ）A. 任意一个三角形的内角和为 B. 棱锥仅有一个底面C. 偶函数的图象关于轴垂直 D. 存在大于1的实数，使【答案】D【解析】 对于选项A、B、C
2、都为全称命题，选项D中，根据特称命题的概念，可得命题“存在大于的实数，使”中含有存在量词，所以D为特称命题，故选D.4.若椭圆的焦点坐标为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 由椭圆，可得，则， 所以该椭圆的焦点坐标为，故选D.5.设等差数列的首项为，若，则的公差为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 设等差数列的公差为，则，解得，故选B.6.“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以， 所以是方程表示焦点在轴上的椭圆的充分不必
3、要条件，故选A.7.在中，角所对的边分别为，则的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 因为，所以， 由余弦定理， 得，所以的周长为，故选C.8.若以双曲线的实轴长比虚轴长多，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由椭圆的方程，可得，所以， 又，所以，所以，故选B.9.设变量满足约束条件，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 画出满足条件的平面区域，如图所示， 当直线和直线交于点时，此时的坐标为， 易知，当时，取得最大值，此时最大值为. 10.已知分别是双曲线的左右焦点，点在此双曲线的右支上，且，则的面积为（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】D【解析】 由双曲线的方程，可知，则， 又，由双曲线的定义可知， 所以，则， 所以的面积等于，故选D.11.已知某曲线的方程为 ，给出下列两个命题：命题若，则该曲线为双曲线；命题若，则该曲线为椭圆,则下列叙述错误的是（ ）A. 是真命题 B. 的逆命题是真命题 C. 是真命题 D. 的逆命题是真命题【答案】D【解析】 若，则该曲线为双曲线，且该曲线为双曲线时，所以命题是真命题且其逆命题也为真命题；若曲线为椭圆，则或，所以的逆命题是假命题，故选D. 点睛：本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，解答中熟记椭圆的标准方程和双曲线的标准方程的形式是解答的关键.12.设双曲线的左焦点，
5、过的直线交双曲线的左支于（在的上方）两点,轴，若为钝角，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意易知， 因为为钝角，所以，即，所以， 又，所以，故选A. 点睛：本题考查了双曲线的离心率的求解问题，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，此类问题解答中熟记双曲线的几何性质和合理转化条件是解答的关键.第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.双曲线 的渐近线方程是_.【答案】【解析】 由双曲线的方程，可得，所以其渐近线方程为.14.在中，角所对的边分别为，则 _.【答案】【解析】 在中，由，则，所以，
6、由正弦定理可得.15.已知，若，则的最小值为_【答案】96【解析】m0，n0，2m=12n，即2m+2n=1则=2（m+n）（）=2（30+） 当且仅当n=3m=时取等号故答案为：96.点睛：这个题目考查了基本不等式求最值的应用，解决二元问题的方法有，不等式的应用，变量集中法，二元化一元的方法，等等。在应用不等式时要注意，均值不等式要满足这一正，二定，三相等，三个条件时才能用于求最值。16.已知焦距为的双曲线的左右顶点分别为是双曲线上异于的任意两点，若 依次成等比数列，则双曲线的标准方程是_.【答案】【解析】 设，则， 由于成等比数列，则， 又，所以，即，所以， 又，即， 所以双曲线的方程为.
7、 点睛：本题考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、等比中项公式等知识点的应用，同时着重考查了推理与运算能力，解答中认真审题、准确计算是解答的关键三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数（）.（1）求的最小值，并指出此时的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由于x0，所以由均值不等值求最小值，及x的值。（2）代入f(x)，由于x0，两边同时乘以x，不等可化为一元二次不等式。试题解析（），所以，当且仅当即时等号成立，故f(x值为10时.x=（2）由得，又x0 以所求不等式的解集为
8、(0,5.18.已知点的坐标为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，求动点的轨迹方程；【答案】.【解析】 试题分析：设动点，根据直线的斜率之积，列出关系式，化简即可求解轨迹方程.试题解析： 设动点，因为直线的斜率之积是，所以，整理得，所以动点的轨迹方程为.19.设“关于的不等式的解析为”，“函数在区间上有零点”.（1）若为真，求的取值范围；（2）若为假，为真，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）由命题为真，则，即可求解实数的取值范围.（2）根据为假，为真，得中一真一假，分类讨论即可求解实数的取值范围.试题解析：（1）函数是增函数，所以若为真，则，解得.（2）若为真，则，
9、即，解得，因为为假，为真，所以中一真一假，若真假，则；若假真，则，综上，的取值范围是.20.已知椭圆的与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点.（1）求的长轴长；（2）设直线与交于两点（在的右侧），为原点，求.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据题意，列出，求得的值，即可得到椭圆的长周长；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，利用根与系数的关系得，得的坐标，即可求解故.试题解析：（1）由题意得设椭圆的标准方程为，则，所以，则的长轴长为.（2）由，得，解得，则，故.21.已知数列的前项和.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和，并求出的最小自然数.【答案】(1).(2)2018.【解
10、析】试题分析：（1）由，当时，两式相减，即可求解数列的通项公式.（2）由（1）得，利用裂项相消法求解，再由，即可确定最小的自然数的值.试题解析：（1）因为，当时，两式相减得，因为也满足，综上.（2），所以，由，即，所以，最小的自然数.点睛：本题主要考查了数列的通项公式的求解和数列求和的应用，解答中涉及到数列的与的关系，以及裂项相消求和，以及不等关系式的运算等知识点的应用，解答中利用裂项相消法求出数列的和是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力.22.已知椭圆的离心率为，上顶点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，使得？若存在，求直线
11、的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1).(2)不存在直线满足题意.【解析】试题分析：（1）由上顶点到直线的距离为，可得，在由离心率即，即可求解的值，得到椭圆的方程.（2）设直线的方程为，联立方程组，利用，得到，设交点的中点为，得，再利用，转化为，即可推导处矛盾，从而得出结论.试题解析：（1）由题可得，可得，故椭圆的方程为.（2）假设存在满足条件的直线，易知在椭圆的外部，当直线的斜率不存在时，直线与椭圆无交点，所以直斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，由方程组，得，依题意，当时，设交点的中点为，则，所以，又，所以，所以，而不成立，所以不存在直线，使得.点睛：本题考查了椭圆的方程点求解和直线与圆锥曲线综合问题的应用，其中解答中把直线的方程和椭圆的方程联立，转化为方程的根与系数的关系，以及正确利用，转化为是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. - 12 -
