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1、导数在研究函数中的应用(2),孙学军,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)增函数,f(x)减函数,巩固：,定义域R,f(x)=x2-x=x(x-1),令x(x-1)0, 得x1， 则f(x)单增区间（，0）,（1，+）,令x(x-1)0,得0x1, f(x)单减区(0,2).,注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接,（第一步）,解,（第二步）,（第三步）,在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处的函数值相
2、比,有什么特点? f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?,观察图像：,一、函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）,使函数取得极值的点x0称为极值点,探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0,
3、f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,f (x)0,x1,极大值点两侧,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意：（1）f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2）只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的
4、点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,例1: 求 的极值。,变式1 求 在 时极值。,例题2: 若f(x)=ax3+bx2-x 在x=1与 x=-1 处有极值. (1)求a、b的值 (2)求f(x)的极值.,变式训练1:,下一张总结,详细解答,小结：,1: 极值定义 2个关键 可导函数y=f(x)在极值点处的f(x)=0 。 极值点左右两边的导数必须异号。 3个步骤 确定定义域 求f(x)=0的根 并列成表格 用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开 区间，并列成表格由f(x)在方程f(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况,思考吗,结束,返回总结,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。,思考1. 判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 f (x0)=0,则f (x0)必为极值； f (x)= 在x=0 处取极大值0， 函数的极小值一定小于极大值 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。 函数的极值即为最值,结束吗,下一个思考,有极大值和极小值,求a范围?,思考2,解析 :f(x)有极大值和极小值 f(x)=0有2实根,已知函数,解得 a6或a3,结束吗,
