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1、深圳市高级中学20182019学年第一学期期中测试高二理科数学本试卷由两部分组成。第一部分：高二数学第一学期前的基础知识和能力考查，共47分；选择题包含第3题、第4题、第5题、第7题、第11题共25分；填空题包含第14题、第15题共10分；解答题包含第19题共12分；第二部分：高二数学第一学期的基础知识和能力考查，共103分；选择题包含第1题、第2题、第6题、第8题、第9题、第10题、第12题共35分；填空题包含第13题、第16题共10分；解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。全卷共22题，共计150分。考试时间为120分钟。注意事项：1、答第一卷前，考生务必将
2、自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。一选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1 已知为实数，则“”是“”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为A B C D3已知向量 , 则A300 B450 C 600 D12004已知实数，则的大小关系为A B C D5若
3、变量满足约束条件 ，则的取值范围是A B C D6设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是ABCD7函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是A B C D8已知在平行六面体中，过顶点A的三条棱所在直线两两夹角均为，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线的长为A B C D9已知是双曲线的右焦点，若点关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 10已知直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成的角的余弦值为A B C D11在中，角的对边分别为，,且，则面积的最大值为A B C D12已知是椭圆的右焦
4、点，点在椭圆上，线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，且，则椭圆的离心率为ABCD二填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13已知三点，共线，那么_14等差数列的公差为，若，成等比数列，则数列的前项 _ 15在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则= 16已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交拋物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点坐标为时， 为正三角形，则此时的面积为 _ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。18（本小题满分
5、12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）若，求二面角的余弦值.19（本小题满分12分）已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且（）求的值； （）若，求ABC的面积S20（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线，与椭圆有两个不同的交点和（）求的取值范围；（） 设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由21（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面， ，分别是的中点（）证明: ；（）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值22（本小题满分12
6、分）已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与 交于点.（）求动点的轨迹方程；（）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.深圳市高级中学20182019学年第一学期期中测试高二理科数学 答案一、选择题题号123456789101112答案BDAACDBDCCBA二填空题： 131； 14 ； 15； 16三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示离心率的双曲线。若为真命题，为假命题，求实数的取值范围。解：若命题为真命题，则：，解得：若命题为真命
7、题，则：，解得：若为真命题，为假命题，则和有且只有1个为真命题。若为真命题，为假命题，则：，无解.若为假命题，为真命题，则：，解得：.综上所述，实数的取值范围为18（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）若，求二面角的余弦值. 解：（1）取中点，连接、，四边形是边长为的菱形，是等边三角形， ，平面平面，平面平面（2），由（1）知，平面平面，平面，直线两两垂直以为原点建立空间直角坐标系，如图，则 设平面的法向量为，由，得，取，得，设平面的法向量为，由，得，取，得， 10分 ，由图可知二面角为锐二面角，二面角的的余弦值为 19 （本小题满分12分）已知在AB
8、C中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且（）求的值； （）若，求ABC的面积S解：（）由正弦定理得：则整理得，又，即（）由余弦定理可知，由（）可知,再由，解得，20（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线，与椭圆有两个不同的交点和（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由解：（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或即的取值范围为（）设，则，由方程，又而所以与共线等价于，将代入上式，解得由（）知或，故没有符合题意的常数21（
9、本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面， ，分别是的中点（1）证明: ；（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值（1）证明：底面为菱形， 三角形ABC为等边三角形 是BC的中点 ，即. 平面，平面 （2）22（本小题满分12分）已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与 交于点.（1）求动点的轨迹方程；（2）设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.解：（1）由题意得，点坐标为，因为为中垂线上的点，所以，又，所以，由椭圆的定义知动点的轨迹为椭圆，和为两个焦点，且，. 所以动点的轨迹方程：.（2）证明：设点坐标为，则点的坐标为，且，所以直线：，即，直线：，即；联立方程组，解得，则：.所以点恒在椭圆上.设直线：，则，消去整理得，所以，所以，从而，令，则函数在上单调递增，故，所以，即当时，面积取得最大值，且最大值为.- 12 -
