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1、高等数学第一章习题一、填空1.设的定义域是，则复合函数的定义域为2. 设的定义域是1,2,则的定义域 -1/2,0 。3.设 ， 则的定义域 0，1 。5.设的定义域为，则的定义域6. 已知，则的定义域为 。7. 设的定义域是,则 的定义域8.设的定义域是,则 的定义域 9. 0 10. 。11. 12.当时，是比 高阶 的无穷小13.当时，与为等价无穷小，则14.若数列收敛，则数列是否有界 有界 。15.若（A为有限数），而不存在，则 不存在 。16.设函数在点处连续，则在点处是否连续。（ 不一定 ）17.函数的间断点是1、2 18. 函数在处连续是在该点处有定义的充分条件；函数在处有定义是
2、在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）21.函数在区间内的最小值是 不存在 22.已知在0处连续，则 2 。23.设处处连续，且，则 9 24.是的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.25.是的第 2 类间断点，且为 振荡 间断点.26设函数,当 0 ， 1 时，函数在点x=1处连续. 27.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）数列有界是数列收敛的 必要 条件。数列收敛是数列有界的 充分
3、条件。（2）在的某一去心邻域内有界是存在的 必要 条件。存在是在的某一去心邻域内有界的 充分 条件。（3）在的某一去心邻域内无界是存在的 必要 条件。存在是在的某一去心邻域内无界的 充分 条件。二、选择1.如果与存在，则（ C ）.（A）存在且（B）存在但不一定有（C）不一定存在 （D）一定不存在2.如果， ，则必有（ D ）。A、 B、C、 D、（k为非零常数）3.当时，arctgx的极限（ D ）。A、 B、 C、 D、不存在，但有界4.（ D ）。A、 B、 C、=0 D、不存在5.当时，下列变量中是无穷小量的有（ C ）。A、 B、 C、 D、6. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量
4、的有（ A ）。A、 B、 C、 D、7.无穷小量是（ C ）.（A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数（C）以0为极限的一个变量 （D）常数08. 如果都在点处间断，那么（ D ）（A）在点处间断 （B）在点处间断（C）在点处连续 （D）在点处可能连续。9.已知，且，那么（ A ） （A）在处不连续。 （B）在处连续。 （C）不存在。 （D）10.设 ，则为（ D ） （A） (B) (C) (D)不存在11.设 则（ C ） （A） 在的极限存在且连续； （B）在的极限存在但不连续；(C)在的左、右极限存在但不相等； （D）在的左、右极限不存在。12. 设，则当 时，有（ B ）
5、 （A）与是等价无穷小； （B）与是同阶但非等价无穷小；（C）是比高阶的无穷小； （D）是比低阶的无穷小。13.当时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（ D ）（A） ； （B） ； （C） ；（D） 。14. 当时， 是等价无穷小，则：（ C ）（A） 1 ； （B） 2； （C） 3； （D）1/215下列运算正确的是（ C ）（A）（B）(C) = =0 + 100=100(D) 三、基本计算题（一求极限）1. 1.解：12. 2.解：1 3. 3. 解： 4. 4.解： 5.5. 解：6.6.解：17. 7.解： 8. 8.解： 9.9.解：110.设时， 是等价
6、无穷小，求的值10.解：11 11 解：312.12.解：13. 13.解14. 14解：15.15.解：16. 16.解 ：17.17. 解：118.18.解：219.设 求 19. 解20. 20. 解： 21. 21.解： 1 22.22.解： 23. 23.解：124.24.解：5 25.25.解： 1（二连续与间断）26.26.解27.指出函数的间断点，并判定其类型.27.解是函数的第一类间断点（跳跃间断点）。 四、综合计算题（一连续与间断）1设，讨论在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。1. 解 x=1 是第一类跳跃间断点。2设，试问：为何值时，使在0处连续？2. 解：1。
7、3已知，求与的值，3.解：2，3。4讨论函数的连续性，并指明间断点的种类。4.解 当2或0或2时函数无定义故，2、0、2为间断点2为函数的第二类间断点。0为函数的可去间断点。2为函数的跳跃间断点。5设，应怎样选取数，才能使在1处连续？5.解 ，0。6讨论函数的连续性，并指明间断点的种类6.解 当1或2时函数无定义，故1和2为函数的间断点，1为函数的可去间断点。2为函数的第二类间断点。7求极限 ， 记此极限为，求函数的间断点并指出其类型。7. 解：当 时，函数无定义，所以，是函数的间断点，是可去间断点；，是第二类间断点。8设 ，求函数的间断点并指出其类型。8. 解是第二类间断点；是跳跃间断点。9
8、9.解（二已知某些极限，求另外的极限或常数）10若，求，的值10.解 ， 11已知 ，求。11. 解：12 设 ，试确定与的值。12. 解： 13 13.解：（三零点定理、介值定理）14 设在上连续。且，则必存在使14解 设15.设函数在上连续，证明：在上至少存在一点，使得15.解：利用最值、介值定理16设在上连续，且，则，使得。16.解：利用最值、介值定理六、提高题（一求极限）1当 时，求1. 解 原式2设 求2.解 3. 3.解（二零点定理、介值定理）4设在0,n(n为自然数，n2)上连续，证明：存在使。4.解 设，且连续，则：将以上各式相加得 ，另一方面，因为连续，所以有， 由介值定理知 使 即5证明：奇次方程至少有一个实根。5. 证 不妨设 ，令则 ， 又在连续,那么，在上也连续，由零点定理知，至少存在一个使得 ，即方程至少有一个实根。6 设在内为非负连续函数，证明：在内存在点，使得6. 证设，在上连续且有最小值m和最大值M，即有 由介值定理知，存在，使得，即，从而成立。
