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1、2 线性变换的运算,3 线性变换的矩阵,4 特征值与特征向量,1 线性变换的定义,6线性变换的值域与核,8 若当标准形简介,9 最小多项式,7不变子空间,小结与习题,第七章 线性变换,5 对角矩阵,7.1 线性变换的定义,一、线性变换的定义,二、线性变换的简单性质,7.1 线性变换的定义,7.1 线性变换的定义,引入,在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种,保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称,线性变换.,映射. 本节要讨论的是在线性空间V上的线性映射,两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性,7.1 线性变换的定义,一、 线性变换的定义,设V为数域P上的线性空间，若变换,满足
2、：,则称 为线性空间V上的线性变换.,7.1 线性变换的定义,注：几个特殊线性变换,由数k决定的数乘变换：,事实上，,单位变换(恒等变换)：,零变换：,7.1 线性变换的定义,例1. (实数域上二维向量空间)，把V中每,一向量绕坐标原点旋转 角，就是一个线性变换，,这里，,易验证：,7.1 线性变换的定义,例2 为一固定非零向量，把V中每,一个向量 变成它在 上的内射影是V上的一个线,性变换. 用 表示，即,这里 表示内积.,易验证：,7.1 线性变换的定义,例3 上的求微商是一个 线性变换，,用D表示，即,例4. 闭区间 上的全体连续函数构成的线性空间,是一个线性变换.,上的变换,7.1 线性变换的定义,1 为V的线性变换，则,2线性变换保持线性组合及关系式不变，即,若,则,3线性变换把线性相关的向量组的变成线性相关,二、 线性变换的简单性质,的向量组. 即,7.1 线性变换的定义,若 线性相关，则,也线性相关.,事实上，若有不全为零的数 使,则由2即有，,线性相关的向量组. 如零变换.,事实上，线性变换可能把线性无关的向量组变成,注意：3的逆不成立，即,线性相关， 未必线性相关.,7.1 线性变换的定义,练习：下列变换中，哪些是线性变换？,2在 中，,1在 中，,5复数域C看成是自身上的线性空间，,6C看成是实数域R上的线性空间，,
