材料力学第9章-压杆稳定

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1、第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.1 引言,当轴向压力超过一定数值时，压 杆的平衡由稳定向不稳定转变，这个载荷称为临界载荷 Fcr,F小于Fcr时，稳定平衡。,给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复 原来的平衡状态。（轴向平衡）,F大于等于Fcr时，不稳定平衡。,杆件既能在轴线上达到平衡，又能 在弯曲状态下达到平衡（F=Fcr)。 给杆件一个横向扰动，杆件由轴向 平衡转向弯曲状态，从而造成失稳。,稳定性结构或者物体保持或者恢复原

2、有平衡状态 的能力。,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,Imin=b3h/12 (hb),一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,如图两端为球铰的细长压杆承受轴力F的作用。,假设力F已经达到临界值Fcr，且压杆处于弯曲平衡状态，现在 看此时杆的挠曲线满足什么条件。,考察C点有：,因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。,即上式中的I 应取最小值Imin。如对于矩形截面梁有：,令：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,则压杆的平衡微分方程可化为：,齐次二阶常微分方程,上式通解为：,A，B为待定常数。,由球铰的位移边界条件有：,代入通解：,方程有非零解的条件是：,即：,9.

3、2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,上式的解为：,又：,所以有：,最小值即为临界载荷：,两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,对应的压杆的挠曲线为：,屈曲模态Buckling mode,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷,如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界 载荷F作用下处于微弯平衡，考察点(x, y)有：,代入挠曲线微分方程有：,令：,有：,其通解为：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,所以有：,由位移边界条件有：,分别代入上面两式：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,A，B，FBy有非零解的条件是：,即：,由图

4、解法有：,代入：,有：,一端固定一端球铰细长 压杆的欧拉临界载荷,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷,临界载荷的拐点确定法,如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其 拐点位于离铰支座 0.7l 处。,拐点处弯矩为零，所以可一看成 长度为 0.7l 的两端球铰的情况。,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：,一端滑动固定一端固定的细长压杆 的临界载荷为：,不同杆端约束下细长压杆的临界载 荷可统一写为：,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,表示杆端约束情况，称为长度系数。,称为相当长度。,

5、固定端-自由端,球铰-球铰,滑动固定端-固定端,球铰-固定端,各种支承约束条件下等截面细长压杆临界载荷的欧拉公式,支承情况,两端铰支,一端固定另端铰支,两端固定,一端固定另端自由,失稳时挠曲线形状,临界载荷Fcr的欧拉公式,长度系数, = 1, 0.7, = 0.5, = 2,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,由欧拉临界压力公式, 可得欧拉临界应力

6、公式:,其中A为压杆的横截面面积; i 为横截面的最小惯性半径，即,如矩形截面的最小惯性半径为：,令：,则有欧拉临界应力为：,压杆的柔度或长细比,柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆 长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响。,柔度越大，临界应力就越小 杆件越容易失稳。,欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限 的场合。,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值， 压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。,即：,令：,当：,称为大柔度杆（或者细长杆）,欧拉临界应力公式适用于大柔度杆!,与材料性质有关。,对于Q235钢制成的压杆，只有柔度大于 100时，

7、才能应用欧拉临界应力公式。,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,时称为中柔度压杆或中长压杆。,此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。 一般由直线或者抛物线经验公式计算。,中长压杆的临界应力的直线经验计算公式：,适用范围：,令：,临界应力总图,中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,细长杆,中长杆,短粗杆,例1：由Q235钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。,求临界压力。,解：,先求压杆的柔度。,不同纵向面内柔度不同，在xy平面内：,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,在xz平面内：,压杆的：,所以：,大柔度

8、压杆。,用欧拉临界应力公式,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.4 压杆的稳定条件,一、稳定条件,或,对压杆进行稳定性计算时，一般不考虑铆钉孔或者 螺栓孔对杆的局部削弱，但要校核此处的强度。,9.4 压杆的稳定条件,二、折减系数法,折减系数同时取决于材料性质和压杆的柔度（参考图9.11)。,根据折减系数法，压杆的稳定条件可写为：,稳定计算的三类问题,1.稳定校核,2.选择截面,3.确定许用载荷,9.4 压杆的稳定条件,例2

9、如图所示立柱，下端固定，上端受轴向压力F=200KN。立柱 用工字钢制成，柱长l=2m,材料为Q235钢, 许用应力 。 在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为d=70mm的圆孔。 试选择工字钢号。,解：因为为受压立柱，应同时考虑立柱的强度和稳定性,根据稳定性条件有：,折减系数和截面面积（柔度）有关，而面积未知， 因此需要进行试算。,（1）取,则有：,9.4 压杆的稳定条件,所以立柱的稳定许用应力为：,工作应力大于稳定许用应力很多，因此需要调整折减系数。,9.4 压杆的稳定条件,则有：,查表选No22a号钢：,则立柱的柔度为：,仍需调整折减系数。,9.4 压杆的稳定条件,（3）取 值位于

10、之间：,则：,选No25a钢,则有：,查表：,所以有：,但超过量小于5%，所以可以选用No.25a工字钢。,9.4 压杆的稳定条件,（4）强度校核,对于No25a工字钢，腹板厚度：,则截面C的净面积：,截面应力：,所以强度条件也满足。,9.4 压杆的稳定条件,例3 如图所示的简易吊车，最大起吊重量G=50KN， CD为空心杆，其内外径分别为d=6cm, D=8cm, 材料为Q235钢， 其， , E=200Gpa, 稳定安全系数 ，试校 核CD压杆的稳定性。,解：,CD压杆为两端铰支压杆， 空心圆杆的惯性半径为,杆长,中柔度杆，故采用直线型公式：,（但大于 ）,9.4 压杆的稳定条件,则临界压

11、力为：,CD杆的工作压力由静力平衡方程求出：,由稳定条件有：,CD压杆的稳定性不够。,9.4 压杆的稳定条件,例4 已知一端固定，一端球铰的圆截面压杆的最大工作压力为4kN, 其长度l=1.25m，规定的 ， 材料的 ， E=210Gpa, 试确定其截面直径d。,解,由于压杆的直径未定，所以不能求其柔度。,先假定此压杆为大柔度压杆，又长度系数0.7, 则用欧拉公式计算有：,又由稳定性条件有：,所以截面直径：,9.4 压杆的稳定条件,得到截面直径 d 后，可计算压杆的柔度，即：,又：,故原假设为大柔度压杆是正确的，压杆的直径应取d=21mm。,9.4 压杆的稳定条件,9.4 压杆的稳定条件,解：

12、1. 确定组合截面形心和形心主惯性轴,图c所示组合截面的形心离角钢短肢的距离显然就是 y035.7 mm，并落在对称轴y轴上。根据y轴为对称轴可知，图c中所示通过组合截面形心的y轴和z轴就是该组合截面的形心主惯性轴。,2. 计算组合截面的形心主惯性矩,9.4 压杆的稳定条件,可见，在组合截面对于所有形心轴的惯性矩中，Imax= Iz ，Imin= Iy , 按通常的说法就是z 轴为强轴，而y轴为弱轴。,3. 计算压杆的柔度,此压杆两端为球形铰支座，在各个纵向平面内对杆端的约束相同，故失稳时横截面将绕弱轴 y 轴转动。压杆的柔度应据此计算。,9.4 压杆的稳定条件,4. 计算压杆的稳定许用应力,

13、由图9.11查得l97时j0.575，从而得,9.4 压杆的稳定条件,压杆稳定性计算步骤,a、计算 、 与 :,b、由压杆类型算,，大柔度杆，,，中柔度杆， 根据有关经验 公式计算。,c、由稳定性条件进行稳定校核或确定许用载荷：,d、设计截面，这一类稳定性计算一般用折减系数法通过试算 来实现。,第九章 压杆稳定,9.1 引言,9.2 细长压杆的欧拉(Euler)临界载荷,9.3 中、小柔度压杆的临界应力,9.4 压杆的稳定条件,9.5 压杆的合理设计,9.6 用能量法求压杆的临界载荷,材料力学,9.5 压杆的合理设计,影响压杆稳定性的因素有截面形状，压杆长度，约束条件及材料 性质等。,要提高压

14、杆稳定性，也要从这几方面着手。,一、合理选择材料,细长压杆,临界力只与弹性模量有关。由于各种钢材的E值大致相等，所以 选用高强度钢或低碳钢并无差别。,中柔度杆,临界应力与材料的强度有关，选用高强度钢在一定程度上可以 提高压杆的稳定性。,9.5 压杆的合理设计,二、合理选择截面,柔度越小，临界应力越大。,在面积不变的情况下，应该选择惯性矩比较大的截面。,如空心杆等。,同时要考虑失稳的方向性，尽量做到各个可能失稳方向的柔度 大致相等。,如压杆两端为销铰支承，由于两个方向的 不同，则应该选 择 的截面，使得两个方向上的柔度大致相等，即：,增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）,9.5 压杆的合理设计

15、,三、改变压杆的约束条件,9.5 压杆的合理设计,细长压杆的临界压力与相当长度的二次方成反比，所以 增强对压杆的约束可极大的提高其临界压力。,如采用稳定性比较好的约束方式，或者在压杆中间增添支座， 都可以有效的提高压杆的稳定性。,9.5 压杆的合理设计,例6 厂房的钢柱由两根槽钢组成，并由缀板和缀条联结成整体，承受轴向压力F=270 kN。根据杆端约束情况，该钢柱的长度系数取为m1.3。钢柱长7 m，材料为Q235钢，强度许用应力s=170 MPa。该柱属于b类截面中心压杆。由于杆端连接的需要，其同一横截面上有4个直径为d0=30 mm的螺钉孔。试为该钢柱选择槽钢型号。,9.5 压杆的合理设计

16、,解：1. 按稳定条件选择槽钢号码,为保证此槽钢组合截面压杆在xz平面内和xy平面内具有同样的稳定性，应根据ly=lz确定两槽钢的合理间距h。现先按压杆在xy平面内的稳定条件通过试算选择槽钢号码。,假设j0.50，得到压杆的稳定许用应力为,因而按稳定条件算得每根槽钢所需横截面面积为,9.5 压杆的合理设计,由型钢表查得，14a号槽钢的横截面面积为 A =18.51 cm218.5110-4 m2，而它对z轴的惯性半径为iz=5.52 cm=55.2 mm。,下面来检查采用两根14a号槽钢的组合截面柱其稳定因数j 是否不小于假设的j 0.5。,注意到此组合截面对于z 轴的惯性矩 Iz 和面积 A 都是单根槽钢的两倍，故组合截面的iz 值就等于单根槽钢的iz 值。于是有该组合