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1、,湖南学海文化传播有限责任公司,2,第九单元 直线、平面、简单几何体,3,第54讲,两个平面的平行与垂直,4,1.分清平面与平面的位置关系，掌握面面平行的定义，了解面面垂直的定义. 2.理解面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理，并能灵活应用.,5,1.下列命题中正确的是( ) A.经过不同的三点有且只有一个平面 B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D.垂直于同一个平面的两个平面平行,C,6,2.若不共线的三点到平面的距离相等，则由这三点确定的平面与的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或相交都有可能,D,7,3.已知m,
2、n是两条不同的直线，是三个不同平面.下列命题中正确的是( ) A.若,则 B.若m,n,则mn C.若m,n,则mn D.若m,m,则,B,8,选项A中，与平行或相交； 选项C中，m与n平行、相交或异面. 选项D中，与平行或相交. 故选B.,4.在RtABC中，D是斜边AB的中点，AC=6,BC=8,EC平面ABC,且EC=12,则ED= .,13,9,5.、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn;n;m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： （答案不唯一）.,10,1.平面与平面平行 定义：若平面与平面没有公共点，则称平面与
3、平面平行，记作. 判定定理：如果一个平面内有 直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 .,两条相交,平行,11,2.平面与平面垂直 定义：平面与平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称与互相垂直，记作. 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条 ，那么这两个平面互相垂直. 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 另一个平面.,垂直于,垂线,12,题型一 面面平行的判定,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.求证：平面AB1D1平面C1BD.,证面面平行，先找线线平行，从而得到线面平行.
4、,13,因为ABCD-A1B1C1D1是正方体， 所以B1D1BD. 又BD平面C1BD, 所以B1D1 平面C1BD. 同理可得D1A平面C1BD. 因为B1D1和D1A是 平面A B1D1内的两条相交直线， 因此平面A B1D1 平面C1BD.,14,(1)证明两个平面平行的方法有：用定义，此类题目常用反证法来完成证明；用判定定理或推论，通过线面平行来完成证明；根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；借助于“传递性”来完成；可以用向量法来证明直线和平面平行. (2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，需要注意其中转化思想的应用.,15,已知平面,直线
5、l，m，且l分别与平面、交于A、B、C，m分别与平面、交于D、E、F. 求证：,题型二 面面平行的性质,16,连接CD，令CD=G, 则平面ACD=BG， 平面CDF=GE. 因为,所以ADBG， 所以 因为,所以GECF， 所以 所以,定理、定义是做题的依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要通过题设和图形的结构特征、性质去寻求，增添辅助线是解决问题的关键.,17,如右图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD的射影是O. 求证：平面O1DC平面ABCD.,题型三 面面垂直的判定与性质,18,要证明平面O1DC与平面A
6、BCD垂直，考虑到图中已知平面ABCD的垂线A1O，因而设法在平面O1DC中找出A1O的平行线，就可证得结论.,如右图，连接AC、BD、A1C1,则O为AC、BD的交点，O1为A1C1 、B1D1的交点. 由平行六面体的性质知，,19,A1O1OC,且A1O1 =OC, 所以四边形A1 OC O1为平行四边形， 所以A1OO1C.因为A1O 平面ABCD, 所以O1C 平面ABCD. 又因为O1C 平面O1DC, 所以平面O1DC 平面ABCD.,证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一平面内或与另一平面内一直线平行.,20,如图，正方体ABCD-A
7、1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，证明：平面EAC平面B1AC.,欲证面面垂直，线面垂直是基础，即要在一个面内找一条与另一个面垂直的直线，显然，B1O与EO就是要找的直线，根据面面垂直的定义，只需证EOB1=90即可.,21,连接BD,交AC于点O，连接EO,B1O，EAC与B1AC都是等腰三角形，且O是AC的中点, 故有EOAC, B1OAC. 所以EOB1为二面角 B1-AC-E的平面角. 连接B1E，设正方体的棱长为a, 则有,22,所以B1E2=EO2+B1O2,则EOB1=90， 所以二面角B1-AC-E是直二面角， 所以平面EAC平面B1AC.,本题的思路原来是想通过证明B1O
8、平面EAC（或EO平面B1AC）来完成面面垂直的证明，这也是一般的思路，但在证明过程中，恰好发现EOB1为二面角B1AC-E的平面角，而接下来采取面面垂直的定义来说明便是很自然的事了.,23,如图，A、B、C、D是空间四点.在ABC中，AB=2，AC=BC=2，等边ADB所在的平面以AB为轴可转动. (1)当平面ADB平面ABC时，求CD的长； (2)在ADB转动的过程中，是否总有ABCD？请证明你的结论.,题型四 综合问题,24,(1)利用面面垂直这个条件时，一定要想到面面垂直的性质定理.在一个面内找（或作）一条与另一个面垂直的直线；（）探索性问题要考虑全面.,(1)设AB的中点为O，连接O
9、C、OD，则OCAB，ODAB， 所以COD为二面角CABD的平面角，,25,所以COD=90. 在等边三角形ADB中， AB=2，所以OD= . 在ABC中，AC=BC=2， AB=2，所以OC=1. 在RtCOD中， (2)在ADB转动的过程中， 总有 OCAB，ODAB， 所以AB平面COD，所以ABCD.,26,本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理及探索过程的分类讨论方法，其中辅助线OD、OC的作出是解题的关键，这是考查线面垂直关系思路的一道好题.,当ADB转动到与ABC共面时， 仍有ABCD. 故当ADB转动过程中， 总有ABCD.,27,如图，直线PQ分别交两平行平面、
10、于A、B两点，直线PD分别交、于C、D两点，直线QF分别交、于E、F两点.若PA=9,AB=12,QB=16,ACF的面积为72，求BDE的面积.,28,因为平面PBD=AC， 平面PBD=BD, 又,所以ACBD且 因为平面QAF=AF, 平面QAF=BE,且,图形中已知,可想到用面面平行的性质来解决，利用边长的比值考虑两个三角形的面积关系.,29,所以AFBE， 且 因为AFBE,ACBD, 所以FAC与EBD相等或互补. 所以 所以,30,本题涉及的知识比较多，有平面与平面平行的性质定理、比例问题、等角原理、三角形的面积公式等，综合性较强，解决时应先理清思路，大胆联想.,31,1.证明平
11、面和平面平行的方法： (1)利用定义，即采用反证法； (2)利用判定定理，可由线面平行（线线平行）面面平行. 2.面面垂直的判定最常用的方法是判定定理法，即要证一个平面内有一条直线垂直于另外一个平面，而这一点一般由线线垂直得到或利用向量的数量积为零的方法.,32,另外，用定义法证明两平面垂直的方法也不能忽视. 3.用向量法解开放性、探索性空间图形位置问题，有时更为简捷，更容易入手. 4.点到面的距离求解常用方法：直接求点到平面垂直线段的长度；等体积法；向量法.,33,（2009江苏卷）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C.求证
12、： ()EF平面ABC； ()平面A1FD平面BB1C1C.,34,()因为E、F分别是A1B、A1C的中点，所以EFBC. 又EF平面ABC,BC平面ABC,所以EF平面ABC. ()直三棱柱ABC-A1B1C1中，有BB1平面A1B1C1，所以BB1 A1D. 又A1D B1C，且BB1 B1C=B1,所以A1D 平面BB1C1C. 而A1D 平面A1FD，所以平面A1FD 平面BB1C1C.,35,（2009宁夏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，PAB是等边三角形，PAC=PBC=90. ()证明：ABPC; ()若PC=4，且平面PAC平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.,36,()证明：因为PAB是等边三角形，PAC=PBC90， 所以RtPBCRtPAC,可得AC=BC. 如图，取AB中点D,连接PD,CD, 则PDAB，CDAB， 所以AB平面PDC, 所以ABPC. ()作BEPC，垂足为E,连接AE. 因为RtPBCRtPAC,37,所以AEPC，AE=BE.由已知， 平面PAC平面PBC,故AEB=90. 因为RtAEBRtPEB， 所以AEB,PEB, CEB都是等腰直角三角形. 由已知PC=4,得AE=BE2， AEB的面积S=2.因为PC平面AEB, 所以三棱锥P-ABC的体积,本节完，谢谢聆听,
