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1、第四篇,函数和解方程,多项式,多项式P采用向量表示 创建多项式 1）向量转化为多项式 ploy2sym(a) a=1 -2 1; y=ploy2sym(a); ans,2）多项式(行向量)的根 roots(p) b=1 -4 4; roots(b) ans = 2 2 3）由特征值生成多项式系数 poly(A) A-方阵或行向量 roots(p)的逆过程,4）多项式求值 polyval(y,x) 求多项式在某一点的取值； a=1 3 5 7 9; k=polyval(a,5) k = 1169 5）多项式除法 u为商多项式，v是余式多项式；, a=1 2 1; b=1 1; u,v=decon
2、v(a,b) u = 1 1 v = 0 0 0 5）多项式微分, a a = 1 2 1 u=polyder(a) u = 2 2 6）多项式的部分分式展开, a=1 3 5 7; b=1 5 6; r,p,k=residue(a,b) r = 8.0000 1.0000 p = -3.0000 -2.0000 k = 1 -2 d,e=residue(r,p,k) d = 1.0000 3.0000 5.0000 7.0000 e = 1 5 6,7）多项式的曲线拟合 polyfit(x,y,n) 曲线拟合用于在两组数据之间建立某种已知的函数关系； 例：4-4.m 多项式次数与曲线拟合；,
3、矩阵分析,1）矩阵的行列式 det 行列式是标量，0表示矩阵为奇异矩阵； 2）矩阵的逆 inv 矩阵A、B A*B=B*A=I 3）矩阵的秩 rank 矩阵的秩反映了矩阵各行向量和各列向量之间的线性依赖关系。对于一个满秩矩阵，既秩等于行数或列数，其行、列向量都是线性无关的。,4）矩阵的范数和条件数 (暂不讲) 矩阵的条件数表示了矩阵计算对于误差的敏感性。 对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。 如果A为奇异时，条件数为无穷，
4、这时即使不改变b，x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值，x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多，x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化，这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数，事实上，正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。, a=1 2;300 470; b=5;10; cond(a) ans = 2391.6 ba ans = 24.0400 37.6800 b=6;10; ba ans = 22.1029 34.6471,矩阵的范数 设X是数域K上线性空间，称.为X上的范数(no
5、rm) ；属于赋范线性空间，可用于推导空间距离，序列的收敛性； 常用范数 a）1-范数 即返回矩阵X列向元素和的最大值； b）2-范数 即返回矩阵X的最大奇异值； c）无穷范数 即返回矩阵X行向元素和的最大值；, x=1 -2 3 -4; norm(x,1) ans = 10 norm(x,2) ans = 5.4772 norm(x) ans = 5.4772 norm(x,inf) ans = 4 sqrt(1+4+9+16) ans = 5.4772,5）矩阵的特征值和特征向量 eig 对于矩阵A（nn），如果存在n为向量x和标量数值a，使得 称x为矩阵A的特征向量，a为A的特征值； 1
6、）求特征值 2） V为以A的特征向量为列的矩阵；D为以A的特征值为对角线元素的矩阵； 方程组的解, A=1 1 2;1 2 1;2 1 1; d=eig(A) d = -1.0000 1.0000 4.0000 v,d=eig(A) v = 0.7071 0.4082 0.5774 0.0000 -0.8165 0.5774 -0.7071 0.4082 0.5774 d = -1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 4.0000,6）矩阵的标准正交基 标准正交基，长度为1，彼此正交；由标准正交基可以产生其所在矩阵线性空间的所有矩阵； a=rand(3) a = 0.4218 0.
7、9595 0.8491 0.9157 0.6557 0.9340 0.7922 0.0357 0.6787 b=orth(a) b = -0.5924 0.6758 0.4386 -0.6815 -0.1300 -0.7202 -0.4297 -0.7256 0.5375 c=b*b c = 1.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000,7）矩阵的分解 A、LU分解 把矩阵分解为一个上三角阵以及一个下三角置换矩阵，或者是一个上三角阵、一个下三角矩阵以及一个置换矩阵； a=rand(3) a = 0.0971
8、 0.3171 0.4387 0.8235 0.9502 0.3816 0.6948 0.0344 0.7655, l,u=lu(a) l = 0.1180 -0.2672 1.0000 1.0000 0 0 0.8438 1.0000 0 u = 0.8235 0.9502 0.3816 0 -0.7673 0.4436 0 0 0.5122 l,u,p=lu(a) l = 1.0000 0 0 0.8438 1.0000 0 0.1180 -0.2672 1.0000 p = 0 1 0 0 0 1 1 0 0 u = 0.8235 0.9502 0.3816 0 -0.7673 0.44
9、36 0 0 0.5122,B）楚列斯基Cholesky分解 chol(A) 若矩阵的所有特征值均大于零，称之为正定矩阵。一个对称正定矩阵可以分解为一个上三角和一个下三角矩阵的乘积； a=1 2 2;2 6 8;2 6 13; eig(a) ans = 17.7178 0.2822 2.0000 r=chol(a) r = 1.0000 2.0000 2.0000 0 1.4142 2.8284 0 0 1.0000 r*r ans = 1 2 2 2 6 8 2 8 13,C）QR分解 qr(A) 把矩阵分解为一个正交矩阵和上三角阵的乘积； a=rand(3) a = 0.8147 0.91
10、34 0.2785 0.9058 0.6324 0.5469 0.1270 0.0975 0.9575 q,r=qr(a) q = -0.6651 0.7463 -0.0256 -0.7395 -0.6631 -0.1162 -0.1037 -0.0583 0.9929,r = -1.2249 -1.0853 -0.6889 0 0.2566 -0.2106 0 0 0.8800 q*q ans = 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 q*r ans = 0.8147 0.5321 0.5228 -0.9
11、141 -0.9801 -0.4258 0.0314 -0.0020 0.9159,D）SVD分解（奇异值分解） svd(A) 返回矩阵A奇异值组成的列向量； 或分解为三个矩阵的乘积，U、V为正交矩阵，S为对角矩阵； a a = 0.8147 0.9134 0.2785 0.9058 0.6324 0.5469 0.1270 0.0975 0.9575 s=svd(a) s = 1.8168 0.8389 0.1815, u,v,s=svd(a) u = -0.6612 -0.4121 -0.6269 -0.6742 -0.0400 0.7375 -0.3290 0.9103 -0.2513
12、v = 1.8168 0 0 0 0.8389 0 0 0 0.1815 s = -0.6557 -0.3056 0.6904 -0.5848 -0.3730 -0.7204 -0.4777 0.8761 -0.0658 u*v*s ans = 0.8147 0.9134 0.2785 0.9058 0.6324 0.5469 0.1270 0.0975 0.9575,E）Schur分解 Schur(A) U为正交矩阵，T为上三角矩阵； a=1 2 2;2 6 8;2 6 13; u,t=schur(a) u = -0.1647 -0.9402 -0.2981 -0.5752 0.3371 -
13、0.7454 -0.8013 -0.0487 0.5963 t = 17.7178 0.5963 -1.8804 0 0.2822 0.3293 0 0 2.0000 u*t*u ans = 1.0000 2.0000 2.0000 2.0000 6.0000 8.0000 2.0000 6.0000 13.0000,8）矩阵A对角线元素操作 a）diag(A) 提取矩阵对角线元素为一向量； b）trace(A) 计算矩阵的迹，主对角线add； c）tril(A,k) 提取矩阵下三角部分； d）triu(A,k) 提取矩阵上三角部分； a 1 2 2 2 6 8 2 6 13 tril(a)
14、1 0 0 2 6 0 2 6 13 tril(a,1) 1 2 0 2 6 8 2 6 13,Matlab求解线性方程组,矩阵A,B称为线性方程组的扩展矩阵。,1）线性方程组的分类 a、恰定方程组，m=n； b、欠定方程组，mn； n是未知数的个数，m是方程个数； 2）求解1高斯消元法 将由系数矩阵和结果矩阵组合成的扩展矩阵A B通过行方向的线型运算变换为D b形式，D为单位阵，b即为求解结果； a) 恰定方程组 C=rref（A）, a=rand(3) a = 0.8147 0.9134 0.2785 0.9058 0.6324 0.5469 0.1270 0.0975 0.9575 b=
15、rand(3,1) b = 0.9649 0.1576 0.9706 c=rref(a,b) c = 1.0000 0 0 -2.5775 0 1.0000 0 3.0365 0 0 1.0000 1.0462,b) 欠定方程组 未知数个数多于有效方程的个数，求解时会忽略部分未知数； a=rand(2,3) a = 0.3922 0.1712 0.0318 0.6555 0.7060 0.2769 b=rand(2,1) b = 0.0462 0.0971 c=rref(a b) % x3=0 c = 1.0000 0 -0.1513 0.0970 0 1.0000 0.5327 0.0476,c) 超定方程组 高斯消元法消元后只能看出该方程组无解； 3）求解2矩阵除法求解方程组 A*X=B-X=AB X*A=B-
