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1、用空间向量处理 立体几何的问题,利用向量解决 空间角问题,一、知识再现,z,x,y,o,A(x,y,z),1、空间直角坐标系,2.向量的直角坐标运算,3.夹角和距离公式,O,j,i,k,X,Y,Z,A,B,4.平面的法向量 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ,如果 ，那么向量 叫做平面 的法向量.,二、用向量处理角的问题,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,例一：,例1：,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,练习：,在长方体 中，,2、利用法向量求斜线与平面所成的角； 若斜线AB与平面,
2、所成的角为,，点A在平面,内的射影为O点。,是平面,的一个法向量，由图知，,，,均为锐角，,为钝角，且,，,。则,例2.正方体,中，,是,的中点，求,与平面,所成的角。,，设正方体的棱长1，则：,解：建立空间直角坐标系,设平面,的法向量为,z,x,y,令,，设,与平面,所成的角为,，则：,：在正方体,中，求,与平面,所成的角的余弦值。,3、利用法向量求二面角的平面角； 设,的二面角为,，,与,是指向二面角外侧与内侧,结论：二面角的平面角等于指向二面角内侧与外侧的两 个平面的法向量所成的角。即：,（,与,的指向不同）,的这两个平面的法向量，由图可知：,例3在长方体,中，,E为,的中点，求二面角,
3、的正切值。,，则：,设平面,法向量为,，则：,解：建立空间直角坐标系,z,x,y,令,， 由图可知，平面,的法向量为,，设二面角,的平面角为,，,：在直三棱柱,中，,为,的中点，,点在,上且,(1)求证：,面,(2)求二面角,的大小。,；,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,3.二面角：,关键：观察二面角的范围,B,A,O,B,A,O,D,P,X,Y,Z,X,Y,Z,X,Y,Z,返回,三、 用向量法求二面角的大小,例2. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ABC=90，SA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= 。求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。,x,y,z,例3. 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB平面ABCD。 求证：无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90。,x,y,z,已知三棱柱ABC-A1B1C1在某个空间直角坐标系中， ， ，,（1）求异面直线A1B和C1D所成的角的大小。,（2）求二面角D-AC1-C的大小。,练习：,
