《常微分方程-第五章 线性微分方程组（5.1-5.2节）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程-第五章 线性微分方程组（5.1-5.2节）（99页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 线性微分方程组,前面几章研究了只含一个未知函数的一阶或高阶方程，但在许多实际的问题和一些理论问题中，往往要涉及到若干个未知函数以及它们导数的方程所组成的方程组，即微分方程组，本章将介绍一阶微分方程组的一般解法，重点仍在线性方程组的基本理论和常系数线性方程的解法上.,5.1 微分方程组的存在唯一性理论,5.2 线性微分方程组的一般理论,5.3 常系数线性微分方程组,5.3.2 常系数非齐次线性微分方程组,5.3.1 常系数线性齐次微分方程组,一、微分方程组的实例及有关概念,多回路的电路问题,是电源电压， 是电感， 是电容器电容,是电阻， 是通过 的电流， 是通过,的电流，由基尔霍夫定律可
2、建立以下方程组.,5.1微分方程组的存在唯一性理论,考虑多个回路的电路，,解得,上面方程组第二式两边对t求导得,(5.1.3),Volterra 捕食-被捕食模型,设有捕食种群和食饵种群生活在同一小环境中,建立微分方程组来研究两种群个体数量随时间的,变化趋势.,设 t 时刻食饵和捕食者的数量或密度分别为,假设个体不区分大小, 而且没有个体向环境输入或,从环境输出, 当环境中不存在捕食者时, 食饵种群的,增长规律用下述Logistic方程来描述,上式左端表示被捕食者的相对增长率; 右端的常数,称为内禀增长率,为环境的容纳量, 由 (5.1.6) 可以看出,(5.1.6),因此,当,时,种群规模增
3、长,时, 种群规模减小.,反映了环境能保证食饵个体数量变化时最,合适的容量, 把(5.1.6) 改写形式,是其出生率 减去死亡率,(5.1.7),一定的条件下,的增大, 将使每一个体平均的,生活条件降低, 从而影响种群的相对增长率, 因此,或,称为密度制约项.,由于捕食者的存在, 将使食饵的增长率减少, 设单位,总量成正比, 注意到 t 时刻有y(t) 个捕食者, 它们在,时间内每个捕食者吃掉的食饵数量与该时刻食饵的,单位时间内吃掉食饵的总数量应为,为常数,对于捕食种群, 当不存在食饵种群时, 仍用Logistic,于是(5.1.7) 变为,方程来描述增长规律, 即,当存在食饵种群时, 被捕食
4、者吃掉的食饵将转化为,能量去生育后代, 设转化系数为,则捕食种群的,增长规律为,其中,式中项,反映了,捕食者仅以食饵,为生.,这样我们得到一个Volterra 捕食-食饵系统,(5.1.10),质点的空间运动,已知在空间运动的质点,的速度与时间 t,及点的坐标,的关系为,且质点在时刻,经过点,求该质点的,运动轨迹.,这个问题其实就是求微分方程组,满足初始条件,的解,事实上, 在第4 章中的高阶微分方程,上面方程组中的未知函数的导数都是一阶的,因此,它们都是一阶微分方程组. 若出现的方程组中未知,函数的导数是二阶或二阶以上, 统称为高阶微分,方程组.,注: 所有的高阶微分方程组都可以通过变量代换
5、,化为一阶微分方程组, 所以今后我们只研究,一阶微分方程组.,的一般形式为,含有,个未知函数,的一阶微分方程组,(5.1.14),对所有未知函数都是一次的，称此方程组为,线性微分方程组.,线性微分方程组及非线性微分方程组:,如果微分方程组(5.1.14)中的每一个,例如: 方程组(5.1.3) 是线性微分方程组,方程组 (5.1.10) 是非线性微分方程组.,否则, 称为非线性微分方程组.,微分方程组的解,设 在 上可微，并有恒等式,则称 为微分方程组(5.1.14)在区间,的一个解.,通解及通积分,含有n个任意常数 的解,为方程组的通解 .,这里,相互独立.,如果通解满足方程组,(5.1.1
6、6),则称(5.1.16) 为方程组 (5.1.14) 的通积分.,方程组 (5.1.14) 的初始条件为,如果已知(5.1.14) 的通解或通积分, 而要求满足,初始条件 (5.1.17) 的解, 将(5.1.17) 代入通解或通积分,得到关于,的n 个方程, 如能从中解得,再代回通解或通积分之中, 就得到所求的解.,二、函数向量与函数矩阵,（1）函数向量和函数矩阵,或者,为 上的函数.,n维函数向量,其中,定义为,是定义在I上的函数。,阶函数矩阵,定义为,其中,注：关于向量或矩阵的代数运算, 如相加、相乘,成立。,与纯量相乘等性质对于以函数作为元素的矩阵同样,关于函数向量与函数矩阵的连续、
7、微分、积分的,定义如下：,如果函数向量,或函数矩阵,是区间 I 上的连续函数，则称,的每个元素分别,或,在I 上连续。,如果函数向量,或函数矩阵,是区间 I 上的可微函数，则称,的每个元素分别,或,在I 上可微，,则定义它们的导数分别为：,如果函数向量,或函数矩阵,是区间 I 上的可积函数，则称,的每个元素分别,或,在I 上可积，,则定义它们的积分分别为：,关于函数向量与函数矩阵的微分、积分运算和普通,数值函数类似。,（2）矩阵及向量的范数,对n维列向量,及 阶矩阵,定义它们的范数为,性质：,1.,且,且,2.,3.,对任意常数,有,4.,5.,向量序列和矩阵序列的收敛,称为收敛的，如果,向量
8、序列,对每一个,数列,都是收敛的。,上收敛的（一致收敛的），,函数向量序列,如果对每一个,函数列,上都是收敛的（一致收敛的）。,称为在,在区间,在区间,是函数向量级数,如果其部分和所作,成的函数向量序列在区间I上收敛 (一致收敛),则称 在I上是收敛的(一致收敛的).,设,由上面的定义，对函数向量序列和函数向量级数可,得到与数学分析中关于函数序列和函数级数相类似,的结论。例如：判别通常的函数级数的一致收敛性,的维尔斯特拉斯判别法对于函数向量级数也是成立的。,即，如果,积分号下取极限的定理对于函数向量也成立， 这就,是说，如果连续函数向量序列,在,上是一致,收敛的， 则,下面再介绍矩阵序列的有关
9、定义和结果.,设,是,矩阵序列, 其中,如果对一切,数列,都收敛,则称 是收敛的.,是矩阵级数,如果其部分和所作成的矩阵,序列是收敛的,则称 是收敛的.,设,如果对于每一个正数 k, 都有,而数项级数,是收敛的, 则,也收敛, 此时称级数,是绝对收敛的.,由定义显然可知， 矩阵级数,收敛的充分必要,条件是：对所有的,级数,均收敛。,（3）微分方程组的向量表示,线性微分方程组,（5.1.18),则初始条件可记为,则(5.1.18)的矩阵形式为,若记,若方程(5.1.18) 的初始条件是,记,类似地, 方程(5.1.14) 也可以写成向量形式, 只要记,则有,例1: 将初值问题,化为用矩阵表示的方
10、程组形式.,解: 则有,即有,设,令,则有,初始条件为,三、微分方程组解的存在唯一性定理,定理5.1 设 和 在 上连续,则初值问题,（5.1.19）,在 内存在惟一解 .,（5.1.20）,证明:,（1）设 为(5.1.19)的满足初始条件,的解.,（2）构造Picard迭代向量函数序列,取 ,令,的解, 则 是积分方程,为区间 上的连续函数列.,（3）序列 在 上是一致收敛的,构造,(5.1.23),由于级数的部分和为,因此要证明序列一致收敛, 只需证明级数(5.1.23),一致收敛. 因为,和,都在闭区间,连续, 所以,和,都在,即存在正数 和 , 使得,上有界,取,下面证明,在 上一致
11、收敛.,首先, 因为,由数学归纳法知,由于,且级数,收敛, 由Weiestrass 判别法知, 级数(5.1.23) 在,上一致收敛, 因而向量函数序列,在,上一致收敛, 同理得向量函数序列在,上也一致收敛. 从而在,上一致收敛.,令,（4） 是积分方程在 上的连续解.,事实上, 因为,在,上一致收敛于,对积分方程两边取极限得到,即有,这就说明了 是积分方程在 的连续解.,即,是微分方程 (5.1.19)满足初始条件(5.1.20),的解.,(5)解的唯一性,设 是积分方程的另一连续解,则有,令 ,则 为,上非负连续函数, 且有,所以,所以 .,对于高阶线性方程,利用变换,将其化为方程组,其中
12、,因此, 由定理5.1 可以直接得出第4章的定理4.1 成立.,考虑非齐次线性微分方程组,(5.2.1),解的结构问题.,(5.2.2),5.2 线性微分方程组的一般理论,先考虑(5.2.1) 对应的齐次线性微分方程组,解的结构问题.,一、线性齐次方程组解的结构,定理5.2 设 是齐次线性方程组,(5.2.2)的 m 个解,则它们的线性组合,也是(5.2.2)的解。,证明: 因,是方程(5.2.2) 的解, 则有,所以,线性相关及线性无关的定义,设 为 上的函数向量,若有一组不全为0的数 ,有,成立，则称此组函数向量在 上线性相关,否则称为线性无关.,例5.2.1 证明,在任何区间I上都是线性
13、相关的.,例5.2.2 证明,在 上线性无关.,证明:要使,成立,显然只需下面方程成立,因为,所以,所以有 线性无关.,为这些函数向量组的朗斯基行列式.,称,定理5.3 方程组(5.2.2)的解组,在,线性相关的充要条件是它们的朗斯基行列式,由 的任意性有 .,均线性相关.所以,上线性相关,则,在,在,在,则 线性相关，即存在不全为零,由解的存在唯一性定理知, ,即有,故解组线性相关.,的数 ,使得,充分性.若 ,取 ,有,可以表示为,定理5.4 设 是方程组（5.2.2),的任意n个解,则它们的朗斯基行列式,A(t)的对角线元素,称上式为刘维尔公式,定理5.4 设 是方程组（5.2.2),证
14、明 :由行列式的求导法则可得,因为 是解,故有,所以,解得,在 上线性无关 在 上某点 处，,推论5.1 方程组（5.2.2）的任一解组,的 在 上或恒不为零，或恒为零.,推论5.2 方程组（5.2.2）的解组,有 .,定理5.5 线性齐次微分方程组（5.2.2）一定存在,个线性无关解.,证明: 由解的存在惟一性定理, 方程组(5.2.2),一定存在满足初始条件,的解, 因此,（5.2.2）的n个线性无关解，则,（1） 是方程组（5.2.2）的,通解，其中 是任意常数.,（2）方程组（5.2.2）的任一解 均可表示为,的线性组合.,定理5.6（通解结构定理）设 是方程组,证明：（1）由解的叠加
15、原理知,是方程组（5.2.2）的解，又因为,故 彼此独立，所以 是通解.,（2）设 是方程组（5.2.2）任一解，并满足,因为 是n个线性无关解，,存在唯一确定的一组常数 满足,可知 线性无关，即它们,因此由解的唯一性，有,考虑,由解的叠加原理知它为方程组的解，并满足,即,推论5.3 方程组(5.2.2)的线性无关解的最大个数为n.,基本解组: 称方程组(5.2.2)的n个线性无关解,为一个基本解组.,基解矩阵: 由基本解组组成的矩阵为基解矩阵.,定理5.7 方程组(5.2.2)一定存在一个基解矩阵,并若 为其任一解,则 .,称这个矩阵为 (5.2.2) 的解矩阵.,其中c是确定的n维常数向量.,定理5.8 方程组(5.2.2)的一个解矩阵 为,是 (5.2.2) 的基解矩阵, 则有,故有,即,由定理 5.7 和定理 5.8 可以得到下面的推论.,推论5.4 若 是(5.2.2)在 上的基解矩阵,证明: 由上面的讨论知, 方程组(5.2.2) 的基解矩阵,满足矩阵方程,C是非奇异 常数矩阵,则 也是,推论5.5 若 是(5.2.2)两个基解矩阵,则存,故有,在非奇异常数矩阵C,使得,于是有,
