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1、第八章 系统的状态变量分析,绪论 8.1 状态方程 一、状态变量与状态方程 二、状态方程的一般形式 8.2 状态方程的建立 一、电路状态方程的列写 二、连续系统状态方程的建立 三、离散系统状态方程的建立,8.3 连续系统状态的解 一、状态方程的时域解 二、状态方程的变换解 8.4 离散系统状态方程的解 一、离散系统方程的建立 二、状态方程的时域解 三、状态方程的变换解 四、可控性和可测性,第八章 系统的状态变量分析,绪论： 系统分析，简言之就是建立表征系统的数学模型并求出它的解。描述系统的方法可分为输入输出方法和状态变量法。 输入输出法也称为端口法，它主要关心的是系统的激励与响应之间的关系。前
2、几章所讨论的时域分析和变换域分析都属于输入输出法。 由于输入输出法只将系统的输入变量和输出变量联系起来，因此不便于研究与系统内部情况有关的各种问题，随着现代控制理论的发展，人们不仅关心系统输出的变化情况，而且对系统内部的一些情况也要进行研究，以便设计系统的结构和参数达到最有控制。这就需要以系统内部变量为基础的状态变量分析法。 对于n阶动态系统，状态变量法使用n个变量的一阶微分方程组来描述系统。主要有以下几个优点:（1）提供系统内部特性以供研究;(2) 一阶微分方程组便于计算机进行数值运算;(3)便于分析多个输入输出的系统；（4）容易推广应用于时变系统和非线性系统。 本章只讨论LTI系统的状态变
3、量分析。,1、状态方程,一、系统变量与系统方程： 二阶系统输入 为电流源，U(t)为输出 由电路定理得： 结点a： 回路1： 以电容上的电压 和电感上电流 为中间变量，得 若以U(t)和 为输出，则有：,令 则： 矩阵形式： 用电容上电压，电感上电流来描述系统的状态。即系统在某一时刻t的状态可由必须数目的一组变量 上例中的电容电压电感电流来描述。在 时在一定的输入下可唯一的确定 的任意时刻状态 ，并可由t时刻状态和输入确定该时刻的输出。 是描述系统状态变化的一组变量，叫状态变量 由状态变量组成的变量方程叫状态方程 由状态变量和输入表示输出解的方程叫输出方程,动态方程或系统方程,2、状态方程的建
4、立,一、电路的状态方程的列写： 列状态方程首先研究状态变量，如电容的电压，电感的电流 注意：所选的状态变量为独立的。 状态方程的列写步骤： 1、选所有独立电容电压和电感电流状态方程。 2、对每一个电容，写出独立结点电流方程；对每一个独立电感， 写出独立回路电压方程。 3、按上述步骤列出的方程含有除激励以外的非状态变量，则应 利用适当的结点方程或回路电压方程将它们消去，然后整理 为标准式。 环路中三电容电压只有两个独立 三支路电流只有两个独立,例：电路以电流 和电压u为输出列出状态方程和输出方程 解：对结点： 对回路(abea): 对回路(abcdea): 整理得 输出方程：,3、连续系统状态方
5、程的解,连续系统 状态矢量 输出矢量 输入矢量 为系统矩阵(LTI系统为常量矩阵） 一、状态方程的解： 求解方法：时域法，变换法 LTI系统的状态方程为一组常系数一阶线性微分方程，即常系数 线性方程。 对1式两边乘 移项得,(1),(2),第一项只与初始状态有关，为系统状态变量的零输入响应，第二项 只与输入矢量有关为系统状态矢量的零状态响应。 当 时： 定义状态转移矩阵 状态转移矩阵的性质： 可证明： 系统的零输入解： 一般解： 系统输出： 其中零状态响应 叫冲激响应矩阵,4、离散系统状态方程及其解,一、离散系统方程建立： 差分方程得框图（流图）基本单元 中状态变量的选择利用基本单元可 列写状态方程，输出方程的一般式： 状态方程： 输出方程： 其中,例：求如图流图所描述系统的状态方程和输出方程 解：设变量时一个延时器对一个变量 结点b： 结点a： 结点d： 而 可由c点求： 而 即得：,
