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1、1.4 条件概率,一.条件概率的概念,引例,一批同型号产品由甲、乙两厂生产，,产品结,构如右表.,从,这批产品中,随意地抽取,一件,则这件,产品为次品,的概率为,取出的这件产品为次,品的概率为,记事件,品为次品”，,在事件A发生的条件下,求事件,B发生的概率,条件概率.,完,假设被告知取出的产品是甲厂生产的,二.条件概率的定义,定义,设A、B是两个事件，,且,则称,(1),为在事件A发生的条件下，,事件B的条件概率.,事件A已发生,则为使B也发生,即此样本点必属于AB.,A成为新的样,本空间.,性质,设B是一事件,且P(A)0,则,1.,对任一事件A,2.,3.,则,前面所证概率的性质都适用于
2、条件概率.,计算,(1),用定义计算;,(2),根据加入条件后改变了的情况来计算.,缩减样本空间,例如,在投掷骰子的试验中,设事件,则,在缩减样本空间中A所含样本点个数,B发生后的缩减样本空间所含样本点总,数,完,袋中有 5 个球,从袋中不放回地连取两个,其中 3 个红球 2 个白球,现,已知第一次取得红球,求第二次取得白球的概率.,解法 1,表示“第,二次取得白球”,时,解法 2,表示“第,二次取得白球”,求,完,一袋中装有 10 个球,先后两次从袋中各取一球 (不放回).,其中 3 个黑球,7 个白,(1),(2),已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍,是黑球的概率;,已知第二次取出的
3、是黑球,求第一次取出的也,是黑球的概率.,球,解,(1),(2),三.乘法公式,(1),(2),乘法公式,可计算两个,事件同时发生的概率.,乘法公式易推广到多个事件的情形.,设A,B,C为事件,且P(AB)0,则,(3),且,则,完,一袋中装有 10 个球,球,其中 3 个黑球、7 个白,求两次,取到的均为黑球的概率.,解,先后两次从中随意各取一球 (不放回),设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下打,破的概率为 1/2,若第一次落下未打破,下打破的概率为 7/10,第二次落,若前两次落下未打破,第三,次落下打破的概率为 9/10,试求透镜落下三次而未,打破的概率.,解,事件“透镜落下三次而未打
4、破”.,因为,故有,破”,完,四.全概率公式,定理,且,则对任一事件B,有,全概率公式将计算一个复杂事件的概率问题，转,化为在不同情况或不同原因下发生的简单事件的,概率求和问题,全概率公式的图解,注:,全概率公式可用于计算比较复杂的事件的概率,公式指出:,在复杂情况下直接计算P(B)不易时,可根,据具体情况构造一完备事件组,使事件B发生的,概率是各事件,发生的条件下事件B发,生的概率总和.,特别地,若取n=2,则 就是,于,是,全概率公式成为,这个公式是常用的.,完,人们为了解一只股票,变化,往往会去分析,如利率的变化.,比,现假设人们经分析估计,的概率为 60%,利率不变的概率为 40%.,
5、根据经,验,人们估计,价格上涨的概率为 80%,该支股票,而在利率不变的情况下,在利率下调的情况下,其价格上涨的概率为 40%,求该支股票将上涨的,概率.,未来一定时期内价格的,影响股票价格的基本因素,利率下调,解,不变”,依题设知,于是,完,五.贝叶斯公式,利用全概率公式,可通过综合分析一事件发生的不,同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生,的概率.,下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反,的问题,即,一事件已经发生,要考察该事件发生的,各种原因、情况或途径的可能性.,例如,有三个放,有不同数量和,颜色的球的箱,子,现从任一箱,子中任意摸出,一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.
6、,或问:,该球取自哪号箱的可能性最大?,定理,任一事件,则对,有,贝叶斯公式,特别地,设某批产品中,甲,乙,丙三厂生产的产品,别占 45%,35%,20%,各厂的产品的次品率,现从中任取一件,4%,2%,5%,(1),(2),求取到的是次品的概率;,经检验发现取到的产品为次品,求该产品是甲,厂生产的概率.,解,“该产品为甲厂生产的”,“该产品,“该产品为丙厂生产,为乙厂生产的”,的”,“该产品是次品”.,分,分别为,解,(1),由全概率公式得,(2),由贝叶斯公式(或条件概率定义),得,注:,公式中,是在没有进一步信息(不知道事件,B是否发生)的情况下诸事件发生的概率.,在获得新,的信息(知道
7、B发生)后,人们对诸事件发生的概率,就有了新的估计.,完,与全概率公式相反，贝叶斯公式主要用于当观察,到一个事件已经发生时，去求该事件发生的各种原,因、情况或可能性大小.,对以往数据分析结果表明,当机器调整的良,好时,产品的合格率为 98%,而当机器发生某种,其合格率为 55%.,故障时,每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为 95%,（2)已知某日早上,第一件产品是合格品时,机器调整得良好的概率,是多少?,（1）某日早上第一件产品是合格品的概率,求,解,为事件“机器调,整良好”.,解,当生产出第一件产品是合格时,机器调整良好的概率为 0.97.,此时,是由以往的数据分析得到的,先验概率.,
8、重新加以修正的概率,得到信息,(即生产的第一件产品是合格品),之后,后验概率.,完,例8,8支步枪中有5支已校准过,3支未校准.,一,名射手用校准过的枪射击时,中靶的概率为 0.8;,用未校准的枪射击时,中靶的概率为0.3.,现从8支,枪中任取一支用于射击,求（1）中靶的概率,求所用的枪,是校准过的概率.,解,(2)已中靶的情况下,解,设,使用的枪校准过,使用的枪,射击时中靶,未校准,完,（2）,一袋中有 10 个球,其中 3 个黑球,7 个白球,从中先后随意各取一球 (不放回),假设已知第二次取,求“第一次取到的也是黑球”的概率.,到的球为黑球,解,设“第一次取到的是黑球”这一事件为,二次取到的是黑球”这一事件为,“第,完,
