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1、MATLAB的方程(组)解法,第六讲,王文健 ,MATLAB数据处理与应用2011-2012学年选修课,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,2,主要内容,线性方程(组)的解法 非线性方程(组)解法 MATLAB统计分析,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,3,简介,线性方程(组) 直接法在没有舍入的情况下，通过有限步四则运算求得方程组的准确解 迭代法先给出一个解的初始值，然后按一定的法则逐步求出解的各个更准确的近似值的方法 非线性方
2、程(组) 迭代法不动点迭代法、Newton迭代法、Broyden Broyden迭代法,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,4,线性方程(组)的解法,线性方程的解法 对于线性方程可以直接调用roots函数来求解 例如：求解x3+5x2-8x+6=0 P=1 5 -8 6; roots(P) 求解2x9+43x7+x6-8x5+14x4-5x3+x2-10x+12=0 a=2 0 43 1 -8 14 -5 1 -10 12; roots(a),Tribology Research Institute SOUTHW
3、EST JIAOTONG UNIVERSITY,5,线性方程(组)的解法,线性方程组的解法 直接法利用符号运算“/”或“”来求解 直接法一般基于高斯消去法、主元素消去法、平方根法和追赶法等，在MATLAB中这些算法已被编成现成的库函数或运算符，可以直接调用进行求解,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,6,线性方程(组)的解法,线性方程组的解法 建立系数矩阵和常数矩阵 A=2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6 B=8 9 -5 0 X=AB,Tribology Research
4、Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,7,线性方程(组)的解法,线性方程组的解法 利用矩阵的LU、QR和Cholesky分解法求解这三种方法对求解大型方程组非常有用 优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存 LU分解法Gauss消去分解，可以把任意矩阵分解为下三角矩阵的基本变换形式和上三角矩阵的乘积 A=LU L为下三角矩阵，U为上三角矩阵 A*X=b变成L*U*X=bX=U(Lb),Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,8,线性方程(组)的解法,LU分解法 A=2 1
5、 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6 B=8 9 -5 0 L,U=lu(A) X=U(LB),Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,9,线性方程(组)的解法,Cholesky分解法 如果A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解为上三角矩阵和其转置的乘积，即A=R*R，其中R上三角矩阵 A*X=b变成R*R*X=b X=R(Rb) 举例： A=16 4 8;4 5 -4;8 -4 22 B=28 5 26 R=chol(A) X=R(RB),正定矩阵 设M是n阶实系数对称
6、矩阵， 如果对任何非零向量 X=(x_1,.x_n) 都有 XMX0，就称M正定(Positive Definite)。 正定矩阵在相合变换下可化为标准型， 即单位矩阵。 所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。 另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,xn)=XAX的矩阵A(A)称为正定矩阵. 判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。 判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。 判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是：A合同于单位阵。,Tribology Research Institute SOUTHWEST
7、 JIAOTONG UNIVERSITY,10,在A变换的作用下，向量仅仅在尺度上变为原来的倍。称是A 的一个特征向量，是对应的特征值（本征值）,是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。 又称本征值。 设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所 奇异矩阵特征值 得到的向量和X 仅差一个常数因子，即AX=kX ，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须
8、取的特定值，这些值就是正的本征值。 设M是n阶方阵， I是单位矩阵， 如果存在一个数使得 M-I 是奇异矩阵（即不可逆矩阵， 亦即行列式为零）， 那么称为M的特征值。 特征值的计算方法n阶方阵A的特征值就是使齐次线性方程组（A-I）x=0有非零解的值，也就是满足方程组A-I=0的都是矩阵A的特征值,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,11,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,12,线性方程(组)的解法,QR分解法 对于任何长方矩阵A
9、，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，即A=QR A*X=b变成Q*R*X=b X=R(Qb) 举例： A=16 4 8;4 5 -4;8 -4 22 B=28 5 26 Q,R=qr(A) X=R(QB),如果：AA=E（E为单位矩阵，A表示“矩阵A的转置矩阵”。）或AA=E，则n阶实矩阵 A称为正交矩阵， 若A为正交阵，则满足以下条件: 1) A 是正交矩阵 2) AA=E（E为单位矩阵） 3) A是正交矩阵 4) A的各行是单位向量且两两正交 5) A的各列是单位向量且两两正交 6) (Ax,Ay)=(x,y) x,yR 正交矩阵通常用字母Q表示。 举例：A=r11 r
10、12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33 则有：r112+r122+r132=r212+r222+r232=r312+r322+r332=1 r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质 正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。 在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵 Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵: ，如果正交矩阵的行列式为 +1，则我们称之为特殊正交矩阵:,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,13,Tribology Research Institute SOUTHWE
11、ST JIAOTONG UNIVERSITY,14,线性方程(组)的解法,迭代解法 在MATLAB中迭代法非常适合求解大型系数矩阵的方程组 Jacobi迭代法 Gauss-Serdel迭代法 超松弛迭代法 两步迭代法,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,15,线性方程(组)的解法,Jacobi迭代法 线性方程组Ax=b，如果系数矩阵A为非奇异矩阵，则A可写成A=D.L.U的分解形式，其中D为对角矩阵，元素为A的对角元素，L和U分别为严格的下三角矩阵和上三角矩阵，故迭代形式为： xi+1=D-1(L+U)xi+D-
12、1b 对应的Jacobi迭代公式的矩阵为： x(k+1)=Bx(k)+f 式中：B=D-1(L+U)=I-D-1A f=D-1b,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,16,线性方程(组)的解法,Jacobi迭代法 举例： A=10,-1,0;-1 10 -2;0 -2 10; b=9;7;6; jacobi(A,b,0;0;1),Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,17,线性方程(组)的解法,Gauss-Seidel迭代法 线性方程
13、组Ax=b，Gauss-Seidel迭代形式为： X(k+1)=GX(k)+f 式中：G为Gauss-Seidel迭代矩阵，G=-(D+L)-1b，f= =(D+L)-1b，D为对角矩阵，L和U为严格的下三角和上三角矩阵 编制Gauss-Seidel迭代法的M文件,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,18,线性方程(组)的解法,Gauss-Seidel迭代法 举例： A=10,-1,0;-1 10 -2;0 -2 10; b=9;7;6; GS(A,b,0;0;0),Tribology Research Inst
14、itute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,19,线性方程(组)的解法,SOR迭代法 线性方程组Ax=b，SOR迭代形式为： X(k+1)=B0X(k)+f 式中：B0为SOR迭代矩阵，B0=(D-wL)-1(1-w)D+wU, f=w(D-wL)-1b D为对角矩阵，L和U为严格的下三角和上三角矩阵 编制SOR迭代法的M文件,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,20,线性方程(组)的解法,SOR迭代法 举例： A=4 3 -1;3 4 -1;1 -1 4; b=19;30;27; w
15、=1.03; SOR(A,b,1;1;1,w),Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,21,线性方程(组)的解法,双步迭代法 线性方程组Ax=b，如果A为对称正定矩阵，双步迭代法形式为： (D-L)x(k+1/2)=Ux(k)+b (D-U)x(k+1)=Lx(k+1/2)+b 式中：D为对角阵，L和U为严格的下三角和上三角矩阵 编制SOR迭代法的M文件,Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,22,线性方程(组)的解法,双步迭代法 举例
16、： A=10 -1 2 2;-1 11 -1 3;2 -1 10 3;2 3 -1 8; b=8;25;-11;17; TS_D(A,b,0;0;0;0),Tribology Research Institute SOUTHWEST JIAOTONG UNIVERSITY,23,非线性方程的解法,对比法 假定函数在a,b区间上是单调函数，且f(a)f(b)0，则在区间上方程f(x)=0至少有一个根 思想：通过判断函数f(x)的符号，逐步将有限区间缩小，使在足够小的区间内方程有且仅有一个根，近似根就是最终区间的重点位置 举例：求解非线性方程xex-2=0 1.编制函数文件exam.m 2.命令窗口输入：DF(
