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1、1. 偏导数的概念及有关结论,定义; 记号; 几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求(复杂时)如P69 4,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法、,(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序),内容回顾,公式法,在原点的各偏导数是否存在？,讨论：,是否连续？,2,显然,求,的一阶偏导数及,解:,当 时,及(0,0)点处的二阶偏导数.,同理,不存在,与,而,显然,解:,当 时,不存在,不存在,*二、全微分在数值计算中的应用(简介),应用,一元函数 y = f (x) 的微分,近似计算,本
2、节内容:,一、全微分的定义,全微分,一、全微分的定义,定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ),可表示成,其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，,称为函数,在点 (x, y) 的全微分, 记作,若函数在域 D 内各点都可微,则称函数,f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，,处全增量,则称此函数在D 内可微.,(2) 偏导数连续,下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:,(1) 函数可微,函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微,由微分定义得可微必连续:,函数在该点连续,偏导数存在,函数可微,则,定
3、理1(必要条件),若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该函数在该点偏导数,同理可证,证: 由全增量公式,必存在,且有,得到对 x 的偏增量,另 函数也必连续,反例: 函数,易知 fx(0,0)= fy(0,0)=0,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏导数存在函数 不一定可微 !,即:,我们已知道函数f(x,y)在(0,0)处不连续,则当然不可微.,定理2 (充分条件),证：,若函数,的偏导数,则函数在该点可微.,所以函数,在点,可微.,注意到, 故有,例如考查函数,易知,也连续,但,因此,函数在点 (0,0) 不可微 .,定理3 (可微的充要条件)!,在原点：偏导
4、数是否存在？,讨论：,是否连续？是否可微？,2,0.,所以不可微.,推广:,类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.,例如, 三元函数,习惯上把自变量的增量用微分表示,记作,故有下述叠加原理,称为偏微分.,的全微分为,于是,(一阶偏导数连续),例1. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例2. 计算函数,的全微分.,解:,可知当,*二、全微分在数值计算中的应用,仅从理论上 简单讲述在近似计算方面的应用,由全微分定义,较小时,及,有近似等式:,(可用于近似计算函数的增量),(可用于近似计算函数值),例3.计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,9.3内容小结,1. 微分定义:,2.
5、 重要关系:,3. 微分在近似计算中的应用(略),(反例略),思考与练习,1. P129 题 1 (总习题九),函数,在,可微的充分条件是( ),的某邻域内存在 ;,时是无穷小量 ;,时是无穷小量 .,2. 选择题,3. 设,解:,同理 可得,（先代入）,（后求导）,作业 P75 1 (3) , (4) ; 3 . 预习9.4,4). f (x,y)在点 (0,0) 可微 .,备用题,1).在点 (0,0) 连续; 2).偏导数存在;,不连续;,证: 1),显然,故函数在点 (0, 0) 连续 ;,3).偏导数在点 (0,0),证明函数,2),同理,极限不存在 ,在点(0,0)不连续 ;,同理 ,在点(0,0)也不连续.,3),4) 下面证明,可微 :,说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件.,令,则,
