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1、指导数学解题的七个数学思想函数与方忑的思愚分类与整合的思想数与形结合的思想化归与转化的思想特殊与一般的思想有限与无限的思想“或然与必然的思想对于如何解题这样一个经常遇到又十分普通的问题不同的人有不同的处理方法.有的人在解题时,只是就题论题把解题的兴奋点集中在题型与方法的形式主义的对号和单纯的演算上因而他关心的是题目的模式和题型加方法的解题套路,常常遇到这样的场面在解某一道题目时,同学甲是构造一个函数解决的,而同学乙没能解出来,当同学甲向同学乙介绍自己的解法时,同学乙会感慨地说:“我这么没有想到昭?“存解一道选抹题时,同学丙是通讨计算解出来的,用了井分铁,而同学3则是通怪酒回解灰的,用了一分铁,
2、这时,同学丙也会感慨地说“我这么没有想到呻?“,这里的想到和没想到,本质上就是具备不具备数学怡想,会不会用数学思想指导解题,同学乙实际上是没有考虑到用函数思想解题,没有用函数和变量去怡考,而同学丙则是对数形结合的数学思想不能运用自如.这两个同学都是在解题中没有去注意数学的本质,没有用数学的基本思想去分析题目,指导解题.正如美国杰出的数学家.柯朗(RichardCourant)在他的名著(什么是数学的序言所讲的*近些年来在许多事情的推动下,人们对数学知识与训练的需要日益增加.现今,除非学生和教师设法超越数学的形式主义并努力去把握数学的实质否则产生挫折和幻灭的危险将会更甚“数学教学有时竟演变成空洞
3、的解题训练这种训练蛛然可以提高形式推导的能力,却不能导致真正的理解与深入的独立思考“因此,要提高解题的能力和水平,首先就要站在较高的观点上去研究解题就要仁根学万质上去看佩触智,砺巩在脱匙师灿吊7体现数学思想并注意发挥数学思想的功能数学思想是数学的基本观点是对数学概念、数学方法和数学发现等的木质认识在解题中主要运用的数学怡想有函数与方程的思想,数形结合的怡想,分类与整合的思想,化归与转化的思想,特殊与一航的思想,有限与无限的思想和或然与必然的思想等这些数学思想的名称与通常学习的数学概念或数学方法的名称有一些蚩然相同但是,数学概吾和数学方法本身并不等于数学思想,它们之间有联系,又有区别,这些区别主
4、要表现在不同的层次上.例如,学习了函数的定义和性质,并能基本运用,并不一定具备函数怡想,当题目明确了所研究的对象是函数时,你可能会想到运用这个函数的性质去解决问题,如果没有明确所研究的对象是函数的时候,你是否想到用函数与变化的观点去思考与解决问题呻?又如,解方程中的消元法,佩等变形中的配方法,三角函数中的诱导公式,几何中的割补法等都是把问题向简单方向转化白明休方法,是化归与绍化思想的兵休休现.但是,化归与转化思想相对于消元法,配方法,话导公式和前并法等札词,具有较高的层次这就是诗,数学中的一些具体方法都是在数学怡想的指导下产生的,我们在解题的时候,如果能够站在数学思想的高度,抓住数学中最本质的
5、东西去怡考,就会高屋建铃,就会使解题更加科学与合理,就会使解题从被动变为主动,就会形成较为完善的解额系统让我们从一道高考试题的解题过程,体会一道数学题时如何在数学怡想的指导下完成的仟Q004年福建卷文)已知广(=4r+e2:3(xeR)在区间-1上是增函数(D)求实数a的值组成的集合4;(D设关王a的方稚Algj=24皇v在刀个非雾穸杰刊i,xb.试问:是否存在实数小使得不等式77+tmxt1|n-口|对任意ae4及7e佩成立?若存在,求力的取值范围;若不存在请说明理由.【分析及解】这是一道以三次函数形式呈现出来的函数间题首先解决第(I)问.这一闰相当于/(x)在区间-L上是增函数,求实数a的
6、取值范图.丁=4+2axr-2n,由己知,/x)在区间厂L上是增函数,等价于广(0对xeH佩成立即与-姓2S0对训佩成于这是一个含参数的不等式的闰题,如何处理这一问题呻?首先是函数思想起了作用.把x-ax-2看作函数.记tJ=xo-ar-2.要使p(JJ0对xeLL佩成立只要,(j0就可以了.所以间题转化为求(x)的最大值由于x2时,p(x)为增函数因此叉要对gfx)的对称轴相对于区间xs-1的中点的不同行分类讨论.当工二熹三0时,由砜汁的图象(图D可以看出,p(L)最大.解不等式组020得-1Sa0.p(0=l-a-2脐,丑壮跚醛皇图25可以看出,p(-1)最大解不等式组5205得“0Sa=1p(-=l+a-20.综合以上得-1as1.即4=叶1Sas小-如果对函数国象比较熟悉的话可以知道,pty)在-L上的最大值只能在区间的端点得到因此只要解q0=l-a-2+80所以方程x“-_2=0有两个非零实根,x.下面计算|-x|V18:本题等价于是否存在力,使不等式n2+m+1y+8由x+xm=Q.x二一得一|对aed,ze恒成立.把ya“+8看作关于a的函数71a)=Va+8,则式等价于砀+1左aldja由于ae4则7laj=ya“+8yL+8=3,从而式转化为7Z十r7十13,E口7十功12二0对e_1佩成立我们又可以把式的左边看作的函数记s()=m7+tz-2=ma+m7-2.
