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1、第七节 对数函数,一、对数的概念与性质,axN(a0，且a1),xlogaN,a,N,lgN,lnN,负数和零,0,1,N,二、对数的运算 1.对数的运算性质 如果a0，且a1，M 0，N0，那么 (1)loga(MN) ； (2) loga ； (3)logaMn (nR).,logaMlogaN,logaM logaN,nlogaM,2.换底公式,(a0,且a1;c0,且c 1;b0),三、对数函数的图象和性质 1.对数函数的定义 一般地，我们把函数y 叫做对数 函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，).,logax(a0，且a1),2.对数函数ylogax(a0，且a1)的图象和性质
2、：,a1,0a1,性 质,(1)定义域：,(0，),(2)值域：,R,(3)过定点 ，即 时，,(1,0),x1,y0,(4)单调性：在(0，)上是,增函数,(4)单调性：在(0，)上是,减函数,(5)当0x1时，y ；当x1时，,(，0),(0，),(5)当0x1时，y ；当x1时，,(0，),(，0),1.若log2a0，( )b1，则 ( ) A.a1，b0 B.a1，b0 C.0a1，b0 D.0a1，b0,解析：log2alog21，0a1. ( )b1( )0，b0.,答案：D,2.lg83lg5的值为 ( ) A.3 B.1 C.1 D.3,解析：lg83lg5lg8lg125l
3、g10003.,答案：D,3.设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小 值之差为 ，则a等于 ( ) A. B.2 C.2 D.4,解析：a1，f(x)logax在a,2a上为增函数， loga2alogaa ，解得a4.,答案：D,4.函数y 的定义域是 .,解析：因 (3x2)0，03x21， x1.,答案：( ，1,5.若2lg(x3y)lgxlg(4y)，则 的值等于 .,解析：由2lg(x3y)lgxlg(4y)，得 整理得，x9y(xy舍去)，所以,答案：,1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形， 化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对
4、 数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对 数互化. 2.熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形 是对数计算、化简、证明常用的技巧.,(1)计算： (2)已知2lg lgxlgy，求,(1)观察式子的特征，利用对数的运算性质将 式子化简(如去根号、降幂等)，然后求值. (2)利用已知条件求得 的值后，代入 log(32 ) 求值.,(2)由已知得 即x26xyy20. 10.,【解】（1）原式,1.求值： (1)log2 log212 _ log2421； (2)(lg2)2lg2lg50lg25； (3)(log32log92)(log43log83).,(2)原式lg
5、2(lg2lg50)lg25 2lg2lg25lg1002.,(3)原式,解:（1）原式log2,利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.,【注意】 在处理与对数函数有关的问题时，应注意底数的取值范围对解决问题的影响以及真数为正的限制条件.,已知f(x)loga(ax1)(a0，且a1). (1)求f(x)的定义域； (2)讨论函数f(x)的单调性.,(1)要真数大于零，同时分a1和0a1求解. (2)在定义域内研究函数单调性
6、.,【解】 (1)由ax10，得ax1.当a1时，x0； 当0a1时，x0. 当a1时，f(x)的定义域为(0，)； 当0a1时，f(x)的定义域为(，0). (2)当a1时，设0x1x2，则1 ， 故0 1 1， loga( 1)loga( 1)， f(x1)f(x2)， 故当a1时，f(x)在(0，)上是增函数. 类似地，当0a1时，f(x)在(，0)上为增函数.,2.对于函数f(x)log (x22ax3)，解答下列问题： (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在(，1内为增函数，求实数a的取值范围.,解：设ug(x)x22ax3(xa)23a2. (1
7、)u0对xR恒成立， umin3a20 (或由x22ax30的解集为R，得 4a2120，求出 ). (2)命题等价于 即所求a的取值范围是1,2).,利用它们的单调性可以解决有关的大小比较问题，进而可解指数、对数不等式和方程，其基本方法是“同底法”，即将不等式和方程两边化为同底的指数式(或对数式)，然后利用指数函数和对数函数的单调性脱去幂的形式(或对数符号)，得出自变量的不等(或相等)关系，从而把问题转化为熟悉的不等式(或方程)来解决.,已知函数yloga(x1)在区间3,4上总有1|y|2，试求实数a的取值范围.,对a分类讨论，利用对数函数的单调性可求得的a范围.,【解】 (1)若a1，则
8、f(x)logax在(0，)上是增函数，x3,4，2x13，0loga2loga(x1)loga3，即loga2|y|loga3， 又x3,4时总有1|y|2，,(2)若0a1，则f(x)logax在(0，)上是减函数. x3,4，2x13， loga3loga(x1)loga20 0loga2loga(x1)loga3， 即loga2|y|loga3. 又x3,4时总有1|y|2， 综上所述，求得a的取值范围是( )( ，2).,3.(2010淮北模拟)已知函数f(x)loga(x1)(a1)，若函 数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于原点对称. (1)写出函数g(x)的解析式； (
9、2)求不等式2f(x)g(x)0的解集A；,解：(1)设P(x，y)为yg(x)图象上任意一点， 则P关于原点的对称点Q(x，y)在yf(x)的图象上， 所以yloga(x1)，即g(x)loga(1x). (2)由 ，原不等式可化为loga0， a1， ，且1x10x1， 即A0,1).,对数函数在高考中的考查，重点是图象、性质及其简单应用，但有可能与其他知识结合.其考查形式多为选择、填空，2009年上海卷出题角度新颖，较好考查了函数的性质及对数式的计算.,(2009上海高考)有时可用函数f(x) 描述学习某学科知识的掌握程度.其中x表示某学科知识的学 习次数(xN*)，f(x)表示对该学科
10、知识的掌握程度，正实数 a与学科知识有关. (1)证明：当x7时，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是 下降；,(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为(115,121，(121,127，(127,133.当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.,解 (1)证明：当x7时， f(x1)f(x) 而当x7时，函数y(x3)(x4)单调递增， 且(x3)(x4)0，故f(x1)f(x)单调递减. 当x7，掌握程度的增长量f(x1)f(x)总是下降.,(2)由题意可知0.115 ln 整理得 解得 由此可知，该学科是乙学科.,(1)学生对增长量f(x1)f(x)总是下降不理解，导致一些学生不得分. (2)不能判定当x7时y(x3)(x4)是增函数是造成本题得低分的主要原因.,
