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1、第三章 线性代数方程组及矩阵特征值,3.0 预备知识 3.1 直接法 3.2 迭代法 3.3 不可解问题 3.4 病态问题, 3.0预备知识,一、对角阵与三角阵 1、对角阵： diag(A) 提取mn的矩阵A 的主对角线上元素，生 成一个具有min(m,n)个元素的列向量 diag(A,k) 提取第k条对角线的元素 diag(V) 设V为具有m个元素的向量，将产生一个以向量V的元素为主对角线元素的mm对角矩阵diag(V,k) 产生一个以向量V的元素为第k条对角线的元素的nn(n=m+k)对角阵,2、 矩阵的三角阵 下三角矩阵 tril(A) 提取矩阵A的下三角阵 tril(A,k) 提取矩阵
2、A的第k条对角线以下的元素 上三角矩阵 triu(A) 提取矩阵A的上三角矩阵 triu(A,k) 提取矩阵A的第k条对角线以下的元素,二、 用于专门学科中的矩阵 (1) 魔方矩阵 魔方矩阵是每行、每列及两条对角线上的元素和都相等的矩阵。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,n2共n2 个整数组成. magic(n) 生成一个n阶魔方阵,各行各列及两条 对角线和为(1+2+3+.+n2 )/n,例 magic(5) ans = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 例：将101125等25个数填入一个5
3、行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。命令如下： M=100+magic(5),(2) 范得蒙矩阵 范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。 vander(V) 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。 例 A=vander(1;2;3;5) A = 1 1 1 1 8 4 2 1 27 9 3 1 125 25 5 1,(3) 希尔伯特矩阵（Hilbert） Hilbert矩阵的每个元素hij=1/(i+j-1) hilb(n) 生成n阶希尔伯特矩阵 invhilb(n) 专求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵
4、注意1：高阶Hilbert矩阵一般为病态矩阵，所以直接求逆可能出现错误结论，故应该采用invhilb(n) 注意2：由于Hilbert矩阵本身接近奇异，所以建议处理该矩阵时建议尽量采用符号运算工具箱，若采用数值解时应该验证结果的正确性,(4) 托普利兹矩阵 (toeplitz) toeplitz矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。 toeplitz(x,y) 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x, y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。 例 T=toeplitz(1:5,1:7) T = 1 2 3 4 5 6
5、 7 2 1 2 3 4 5 6 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3,(5) 帕斯卡矩阵 二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。 pascal(n) 生成一个n阶帕斯卡矩阵。,pascal(6) ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 252 例 求(x+y)5的展开式。 pascal(6)次对角线上的元素1，5，
6、10，10，5，1即为展开式的系数。,三、向量和矩阵的范数 norm(V)或norm(V,2) 求向量V（或矩阵V )的2范数 norm(V,1) 求向量V（或矩阵V）的1范数 norm(V,inf) 求向量V（或矩阵V)的范数 例 已知V，求V的3种范数。 命令如下： V=-1,1/2,1; v1=norm(V,1) %求V的1范数 v2=norm(V) %求V的2范数 vinf=norm(V,inf) %求V的范数,常用的向量范数:,范数意义下的单位向量: X=x1, x2T,-1,常用的矩阵范数:,例 求矩阵A的三种范数 命令如下： A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;
7、4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;11,18,25,2,19; a1=norm(A,1) %求A的1范数 a2=norm(A) %求A的2范数 ainf=norm(A,inf) %求A的范数,四、 矩阵的逆与伪逆 1、 矩阵的逆（后面研究完Gauss消去法后还将给出求逆的方法） 求方阵A的逆可用 inv(A) 注意：该函数也适用于符号变量构成的矩阵的求逆 例 用求逆矩阵的方法解线性方程组。 命令如下： A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,2,6; x=inv(A)*b 一般情况下，用左除x=Ab比求矩阵的逆的方法更有效(因为A奇异或接近奇异时，用inv(A)可
8、能出错),例：Hilbert矩阵（非常有名的病态矩阵）：,验证从55到1414的Hilbert矩阵病态特征,clear format long; for n=5:14 H=hilb(n);norm1=norm(H*inv(H)-eye(size(H); H1=invhilb(n);norm2=norm(H*H1-eye(size(H); fprintf( n=%3.0f norm1=%e norm2=%en, n,norm1,norm2) end,n= 5 norm1=1.409442e-011 norm2=3.637979e-012 n= 6 norm1=2.534893e-009 norm
9、2=1.455203e-011 n= 7 norm1=9.810538e-008 norm2=5.208793e-010 n= 8 norm1=3.123671e-006 norm2=4.822187e-008 n= 9 norm1=8.116595e-005 norm2=2.479206e-007 n= 10 norm1=2.645008e-003 norm2=1.612897e-005 n= 11 norm1=7.200720e-002 norm2=1.305122e-003 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Res
10、ults may be inaccurate. RCOND = 2.632766e-017. n= 12 norm1=1.176913e+001 norm2=5.576679e-002 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.339949e-018. n= 13 norm1=5.323696e+001 norm2=1.137063e+001 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Res
11、ults may be inaccurate. RCOND = 1.708191e-019. n= 14 norm1=1.224232e+004 norm2=2.836298e+002,说明1:对于Hilbert求逆时，不建议用inv,可用 invhilb直接产生逆矩阵 说明2：符号工具箱中也对符号矩阵定义了inv( )函数,即使对更高阶的奇异矩阵也可以精确的求解出逆矩阵,例：H=sym(hilb(30); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H),说明3：对于奇异矩阵用数值方法的inv( )函数，会给出错误的结果，但符号工具箱中的inv( )会给出正确的结论,例 A=
12、16,2,3,13;5,11,10,8; 9,7,6,12;4,14,15,1; det(A) B=inv(A),结果： ans = 0 Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017. B = 1.0e+014 * 0.93824992236885 2.81474976710656 -2.81474976710656 -0.93824992236885 2.81474976710656 8.44424930131968 -8.44424
13、930131968 -2.81474976710656 -2.81474976710656 -8.44424930131968 8.44424930131968 2.81474976710656 -0.93824992236885 -2.81474976710656 2.81474976710656 0.93824992236885,但用符号工具箱的inv:,A=16,2,3,13; 5,11,10,8; 9,7,6,12; 4,14,15,1; A=sym(A) inv(A),结果： ? Error using = sym.inv Error, (in inverse) singular m
14、atrix,2、 矩阵的伪逆 pinv(A) 若A不是一个方阵，或A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A同型的矩阵B，使得： ABA=A, BAB=B 此时称矩阵B为矩阵A的伪逆。 例 求A的伪逆，并将结果送B A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1; B=pinv(A) 例 求矩阵A的伪逆 A=0,0,0;0,1,0;0,0,1; pinv(A),五、 求方阵A的行列式: det(A) 例 用克莱姆(Cramer)方法求解线性方程组(不建议使用） 程序如下： D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2; %定义系数
15、矩阵 b=4;6;12;6; %定义常数项向量 D1=b,D(:,2:4); %用方程组的右端向量置换D的第1列 D2=D(:,1),b,D(:,3:4); %用方程组的右端向量置换D的第2列 D3=D(:,1:2),b,D(:,4:4);%用方程组的右端向量置换D的第3列 D4=D(:,1:3),b;%用方程组的右端向量置换D的第4列,DD=det(D); x1=det(D1)/DD; x2=det(D2)/DD; x3=det(D3)/DD; x4=det(D4)/DD; x1,x2,x3,x4,六、 求矩阵A的秩 rank(A) 七、 求矩阵A的迹 trace(A) 例：D=2,2,-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,4;3,3,-2,2; r=rank(D) t=trace(A) 结果：r = 4 t= 6,九、求矩阵特征多项式、特征值、特征向量,设A是一个 nn 矩阵，,为A的特征多项式。,特征多项式的根称为矩阵A的特征值。,c=poly(A) 求
