[工学]量子力学第一章

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1、第一章 波函数与Schrodinger方程,本章所讲的主要内容,波函数的统计诠释(1.1),Schrodinger方程(1.2),量子态叠加原理(1.3),既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那 么，如何理解这两属性呢？经典物理的观念 是无法回答的，必须被修改。主要表现： 波粒两象性 （粒子） （波） （Planck假设）Einstein关系,一、 实物粒子的波动性,1.1 波函数的统计解释,（de Broglie假设） de Broglie关系 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描 述,将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来， 这在经典物理学中看来是不可能的，因 经典粒子 经典波 原子性（整体

2、性） 实在物理量的空间分布 轨道 干涉，衍射 这两者是不相容的。描述微观粒子既不能 用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经 典粒子和经典波来描述。,二、电子双缝实验,用一电子枪(由一加热的钨丝和一加速电极构成)向开有双缝的屏发射电子，再后面是接受电子的后障，先在其上安装一个可移动的检测器，它可以是盖革计数器，或者更好一点，与扩音器相连的电子倍增器，每当电子到来的时候，检测器发出咔哒的声响。,如图a所示。,在实验中我们会发现，咔哒声出现的节奏是不规则的，但在每处较长时间内的平均次数是近似不变的，它与电子枪发出的电子流强成正比。为了避免咔哒声过分密集，不好计数，我们可以把电子枪的加热电流减弱，

3、以减少电子的流强。我们甚至可以设想，电子流强如此之弱，当前一个电子从电子枪出发通过双缝屏到达后障之前，后一个电子不出发。每次只有单个电子通过仪器。这时如果我们在后障上各处布满检测器，则会发现，每次只有一个检测器发出咔哒声。,所有的咔哒声都一样强，从来不会发生两个或两个以上的检测器同时发出哪怕是较弱的咔哒声。这就是说，犹如上述子弹实验，电子是以“粒子”的形式被检测到的。,现在先把缝2遮住，只允许电子从缝1通过。记录后障上各处检测到电子的数目。经过长时间的数据积累，可得到如图b所示的电子沿x方向的数密度分布曲线r1(x) 。,最后打开两缝做实验，起初后障上各处咔哒声此起彼落，貌似无规。经过长时间的

4、数据积累，可得到如图c所示的电子数密度分布曲线r12(x) ，,得到的强度分布I12(x) (见该图c)，具有明显的干涉效应特征。,直到1970年代才有人发表干涉实验的结果。,遮住缝l，打开缝2，重复上述实验，又可得到如图b所示的数密度分布曲线r2(x) 。,这里得到的曲线r1(x)和r2(x) ,没有干涉。,r1,r2,当实验使电子从确定的狭缝通过时,电子表现得象粒子。当实验不确定使电子从哪一条狭缝通过时,电子表现得象波。,如果说电子是“粒子”，我们能否说：每个电子不是通过缝1，就是通过缝2，两者必居其一。那么，干涉效应是怎样产生的呢?也许电子在通过双缝时分成了两半，每缝通过一半。为什么检测

5、器接受的总是整个的电子，从未发现半个?,怎样理解电子在上述双缝干涉实验中的这种行为?,如果说电子是“波”，但实验测得的是一个一个的电子。,上世纪九十年代中后期的 “哪条路检测器” 实验结果是，每个电子都只穿过一条缝,从未观察到某个电子同时穿过两缝的情况。该实验还表明,如果确定粒子从哪条路通过，那么就无干涉效应,即退相干,如果实验不确定粒子从哪条路通过,那么就出现干涉效应。,“which way”实验,在一条缝后放置一个足够强的照明光源。这样，穿过该缝的电子必定同时散射光子。探测有无散射光子原则上就可判定是从哪条缝穿过的。,总之，要设计出一种仪器，它既能判断电子通过哪条缝又不干扰干涉图样的出现，

6、是绝对做不到的。这是微观世界里的客观规律，并非我们现在的实验手段不够高明。我们无法用我们的经典观念来解释电子是怎样通过双缝而产生干涉现象的，我们只好说,当实验确定电子是从哪条缝穿过时，这个对电子位置的测量过程实际上已经干扰了电子原来的状态，使得电子由原来的具有波粒二象性的状态突变到仅具有粒子性的状态，因而没有干涉现象发生。,电子是以它自己的独特方式穿过双缝的。,有关哪条路检测器如何退相干的实验，近来有很大的进展 。近年来的研究进展表明，哪条路检测器的退相干作用，主要来自它与被探测客体量子态的交缠。,三、电子双缝实验干涉图样的Born几率诠释,电子通过双缝后的数密度分布呈现干涉图样反映了电子的波

7、粒二象性, 从而我们可得到物质波的Born几率诠释。,后障上某点x邻域内的干涉花样强度,正比于,该点x邻域内的电子数密度大小,正比于,出现在该点x邻域内的电子数目，,正比于,电子出现在该点x邻域内的几率。,后障上某点x邻域内的干涉花样强度,正比于,电子出现在该点x邻域内的几率,电子物质波在点x邻域内的强度,电子物质波在点x邻域内的强度 正比于电子出现在该邻域内的几率,实物粒子物质波在空间任一位置附近的强度 正比于粒子出现在该位置附近的几率。,不难理解，对于其他实物粒子的物质波，可以有与电子 同样的理解。即,物质波的Born几率诠释:,物质波是几率波,这就是说,根据物质波的这个几率诠释, 粒子的

8、波动性体现在与粒子出现在空间各点的几率相联系的波的波动性上。这样,粒子的波动性只是反映了微观客体运动的一种统计规律性。在非相对论情况下,物质波的几率诠释正确地把实物粒子的波动性与粒子性统一起来, 经历了无数的实验检验(如，散射粒子的角分布观测结果) 。,四、 波函数及其统计解释,1、物质波的描述量波函数,物质波不是某种真实可测物理量的振动在空间中的传播！,来描写, 称之为波函数。它是粒子位置坐标和时间的复值函数，是不可测量的。,描述物质波的量不应是一个可测的量。,可测的量一般应是实数，故描述物质波的量不能取实数！,假定,一个微观粒子的物质波总可以用一个函数,象位矢作为时间的函数包含了经典粒子运

9、动的全部信息一样，认为波函数完全描写了微观粒子的运动状态。 因此，波函数又叫态函数。,自由粒子的波函数:,具有确定能量E和动量 (平面单色波)时:,经典平面单色波波动式为,由de Broglie物质波假设,可假定,（应取实部）,一维情形:,非相对论情形,2 波函数的几率诠释,物质波的波强应正比于波函数的模的平方,由物质波的几率诠释就可知,应描写了粒子出现在空间各点的几率分布 （或几率密度）, 即,点处的体积元DxDyDz中,表示在t时刻在空间中,粒子出现的几率。,这就是波函数的几率诠释,也就是物质波的几率诠释，是M. Born研究散射问题时提出的。 它是量子力学的基本原理之一。,按统计解释，粒

10、子出现在任何地点的几率必须有确定的，唯一的而且是有限的数值。故波函数在其变量变化的全部区域内通常应满足三个条件：平方可积性（有限性）、连续性和单值性。这三个条件称为波函数的标准条件。当然，这是就一般情况而言的，在具体的问题中，还应根据实际的物理情况，有具体的要求。,3、 波函数的性质,归一化条件，归一化常数,按照波函数的统计解释，很自然地要求粒子（在非相对论情况下，没有粒子产生和湮灭现象发生）必定要在空间中出现的，所以，在整个空间中粒子出现的几率总和应等于1，所以有,这称之为波函数的归一化条件。,注意:体积元表示为下列四种形式均可,在直角坐标系中:,在柱坐标系中:,在球坐标系中:,与波函数 描

11、述的相对几率完全相同，换言之， 和 所描述的几率波是完全相同的。因此，波函数有一个常数因子的不确定性。在这一点上，几率波与经典波有本质上的差别，一个经典波的波幅增加一倍，则相应的波动的能量为原来的4倍，因而代表了完全不同的波动状态。,所描述的相对几率分布是完全相同的。 例如，在空间点,和,的相对几率，波函数,描述的粒子的相对几率为,按上述解释，我们得出结论,所描述的量子态与,所描述的量子态是相同的，其中,于是，,我们将满足上式的波函数称为归一化波函数，而该式称为归一化条件。,注意：,与,表示意义区别？,其中A为常数，则有,即,是归一化的波函数，,即归一化常数。,例：已知基态氢原子的电子由波函数

12、,描写，试计算归一化常数C。其中,为常数，,是玻尔半径。,解：为使,归一化，要求,于是得,上式指出，归一化常数只能确定到其绝对值。 因此，即使归一化后，波函数仍有一不确定 的相因子,为了方面，可取C为正实数，于是归一化波函数可写作,，,试对下列波函数进行归一化,多粒子体系的波函数 以上关于单粒子波函数的讨论，很容易推广到N个粒子体系的情况，它的波函数可表为,表示t时刻,粒子2出现在, 粒子N出现在,粒子1出现在,中,中,中,的几率。,此时,归一化条件表为,以后，为表达简便，引进符号,这样归一化条件就简单地写为,波函数、几率密度的概念对于推动化学由纯经验学科向理论学科发展起着极为重要的作用. 现

13、代化学中广泛使用的原子轨道、分子轨道, 就是描述原子、分子中电子运动的单电子波函数:,而“电子云”就是相应的几率密度:,按照哥本哈根学派的观点, 几率在量子力学中是原则性的、基本的概念. 原因在于微观世界中不确定原理起着明显的作用.,波函数 已经归一化，则 表示绝对几率密度，否则为相对几率密度，以后无特殊说明，所求几率密度和几率都是绝对几率密度和绝对几率,量子力学基本假设之一： 在量子力学中，体系状态用波函数 （也称为态函数）来描述，一般要求波函数是单值的、连续的、平方可积的，波函数一般是复数，波函数模的平方 给出体系的状态的几率分布（波函数统计诠释）。,注意：,自由粒子波函数一般用平面波函数

14、表示即：,（一维）,（三维）,其次，在整个空间找到粒子的几率之和为1,例题1：设粒子波函数为 ，求在 范围内找到粒子的几率（或概率）书P8,解：首先波函数必须归一化,故在 范围内找到粒子的几率，应该将y，z两个变量积分掉，即,如果波函数 是归一化的，结果怎样？,其次，在整个空间找到粒子的几率之和为1,解：首先波函数必须归一化,例题2：设粒子波函数为 ，求 （a）粒子在球壳 中被测到的几率； （b）在 方向的立体角元 中找到粒子的几率。书P8,故 （a）粒子在球壳 中被测到的几率，应该将， 两个变量积分掉，即,（b）同理在 方向上的立体角元 中找到粒子的几率，应该将r积分掉。,五、动量波函数和动

15、量分布几率,若波函数为波包的电子垂直入射到单晶晶面上，衍射谱应该测得动量的几率分布，即,在前述电子在晶体表面衍射的实验中，粒子在晶体表面反射后，得到了的动量运动。以一个确定的动量运动的状态用波函数,描写。但当入射粒子以包含不同动量的波包入射到晶体上，粒子的状态 可以表示为取各种可能的动量值 的平面波的线性叠加：,(1),式中,(2),这里我们已取平面波的归一化常数A等于,其理由将在后面详细讨论。而(1)式中,为,这个结论的证明是很简单的：事实上，将(2)代入(1)式后给出,(3),(4),关于表象理论，以及关于上述坐标空间和动量空间的严格意义，我们在后面将作深入讨论。 利用复变函数中的巴塞瓦等

16、式，不难证明,(6),(5）,在一维情况下，(3)式和(4)式写为,(7),时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。 微观粒子不可能静止,静止意味着粒子坐标和动量可以同时取确定值,违反了测不准关系.,在经典力学中，一个自由运动的质点不仅有一定的动量，并且每个时刻都有确定的位置。下面我们将看到，对于微观粒子原则上这是不可能的。在同一时刻，粒子只可能有在一定限度以内的比较确定的动量和比较确定的位置。Heisenberg的不确定关系(也称为测不准关系)为,六、不确定度关系,上式表明微观粒子的位置（坐标）和动量不可能同时取确定值，这是波粒二象性的反映，当,可以参看书P11例题1例题3,我们考虑“方脉冲”作为另一个例子,它延伸到在点 x = 0 周