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1、平面图形的几何性质,A.1 静矩和形心,A.2 惯性矩和惯性半径,A.4 平行移轴公式,A.3 惯性积,目 录,A.1 静矩和形心,一、静矩,分别为图形对 z 轴和 y 轴的静矩。,说明：,1、静矩不仅与平面图形的形状尺寸有关，还与所选坐标的位置有关。同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩不同。,2、静矩的数值可正可负，也可以为零。,3、静矩的单位：mm3 或 m3,定义:,面积对轴的一次矩。,对均质薄板来说，形心与重心坐标相同。,二、形心,即:,从而：,推论,1、若平面图形对某一坐标轴的静矩等于零，则该坐标轴必通过图形的形心。,2、平面图形对通过其形心的坐标轴的静矩恒等于零，,即：轴过形心 S该
2、轴=0,通过形心的轴称为形心轴。,求所示图形对y 轴的静矩。,z,z+dz,解法1：,例题1,解法2：,试想想还有没有其它方法？,？,三、组合图形的静矩和形心,1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一轴静矩的代数和，即：,其中：Ai， yi， zi 分别代表第i个图形的面积和形心坐标， n为分割成的简单图形的个数。,2、组合图形的形心坐标,其中：yc 、 zc为组合图形的形心坐标， Sz、Sy为组合图形分别对z轴和y轴的静矩, A为组合图形的总面积,由于z轴是对称轴,解：,A.2 惯性矩和惯性半径,（3）其大小不仅与平面图形的形状尺寸有关,而且还与平面图形面积相对于坐标轴的分布情
3、况有关.平面图形的面积相对坐标轴越远,其惯性矩越大;反之,其惯性矩越小.,一、惯性矩,定义：,图形面积对某轴的二次矩：,特点：,（1）惯性矩的量纲为长度的四次方，单位用m4 、 cm4 、 mm4.,（2）惯性矩恒为正值,其中iy、iz分别为平面图形对z轴和y轴的惯性半径。,（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的惯性矩之和:,（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积, 即,或,（2）由于2=y2+z2, 所以有Ip=Iy+Iz, 即平面图形对通过一点的任意一对正交坐标轴的惯性矩之和均相等, 并且等于平面图形坐标原点的极惯性矩。,二、极惯性矩,定义：,图形面积
4、对某点的二次矩：,特点：,（1）具有惯性矩的特点。,A.3 惯性积,一、惯性积,定义：,图形对一对相互垂直的轴的矩。,特点:,(1)惯性积的量纲为长度的四次方，单位为m4 、 cm4 、 mm4. (2)其值可正、可负，可为零。 (3)所选坐标轴有一个对称轴，则惯性积的值为零。,有对称轴截面的惯性积,Iyz= (yizidA- yizidA)=0,二、几个主要定义,(1)主惯性轴：Iy0z0=0，则y0、z0为主惯性轴。,有对称轴截面的主惯性轴,Iyz= (yizidA- yizidA)=0,当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主惯性轴。,(4)形心主惯性矩：对形心主
5、惯性轴的惯性矩,(2)主惯性矩：对任一主惯性轴的惯性矩。,(3)形心主惯性轴：过形心的主惯性轴。,求所示图形的形心主惯性矩。,例3,解：,求所示图形的形心主惯性矩,例4,解：,同理，对于空心圆：,A.4 平行移轴公式,一、惯性矩的平行移轴公式,C为形心，y、z为原坐标轴，yc、zc为过形心C分别与y、 z平行的坐标轴,(1)两平行轴中必须有一轴为过形心轴。 (2)截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系应通过平行的形心轴惯性矩来换算。 (3)截面图形对所有平行轴的惯性矩中以对通过形心轴的惯性矩为最小。,则有：,说明：,二、惯性积的平行移轴公式,说明：,不是所有平行轴的惯性积中的最小值，因为a、b（形
6、心坐标）可正可负，其符号由其所在象限确定。,三、组合图形形心主惯性矩的计算,3、利用平行移轴公式，叠加,1、确定组合图形的形心主惯性轴,2、求各组成图形分别对自身形心轴yi、zi轴的惯性矩, yi、zi轴分别平行与y、z轴。,a. 确定形心,b. 确定形心主惯性轴,例5：,试计算图示截面的形心主惯性矩。,解：,（1）确定形心及形心主惯性轴。,由于y、 z为对称轴，故y、z都为形心主惯性轴。,（2）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯性矩。,（3）计算组合图形的形心惯性矩。,例6：,试计算T形截面的形心主惯性矩。,解：,（1）确定形心及形心主惯性轴。,由于z为对称轴，故yc、zc都为形心主惯性轴。,
7、（2）计算两矩形对自身形心C1、C2的惯性矩。,（3）计算形心惯性矩。,工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录,例如：型号为25a的工字钢,查表可知：,课堂练习,求图示截面对z轴的惯性矩。,习题,负面积法,Eg1 求图I-2所示半圆形的 静矩及形心位置,解：由对称性，,现取平行于,轴的狭长条作为微面积,Eg2、如图所示,确定其形心位置。,解：将图形看作由两个矩形I和组成， 在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为,矩形：,mm2,mm，,矩形：,mm2,mm，,mm,mm,整个图形形心,的坐标为,Eg3 求如图I-6所示图形的,及,解：取平行于,轴的狭长矩形，由于,，其中宽度,随,变化，,由,如图,则,Eg4、 由两个8号槽钢和两块,cm2 钢板组成的截面，,如图 I-8 ，求,解：计算,根据平行移轴公式，求得每一钢板对,轴的惯性矩为,从型钢表中查得每一槽钢对,轴的惯性矩,为,cm4,cm4,则该组合截面对,轴的惯性矩为,cm4,
