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1、Email: ,图论及其应用,任课教师：杨春,应用数学学院,本次课主要内容,(二)、E图和H图的关系,超哈密尔顿图问题,(一)、超H图与超H迹,定义1 若图G是非H图，但对于G中任意点v,都有G-v是H图，则称G是超H图。,(一)、超H图与超H迹,定理1 彼得森图是超H图。,证明： (1) 证明彼得森图是非H图。,若不然，设C是G的H圈。,又对于边28，23来说，在前面情况下，必有一条在C中。分两种情形讨论。,对于边12, 17,15来说，必然有两条边在C中。不失一般性，假定17,12在C中，那么，56，54也必然在C中。,但这样得到圈：17(10)821。所以该情形不能存在。,情形1：假如2
2、8在C中，则39，34在C中,从而7(10), 8(10)在C中,但这样得到圈：123971。所以该情形也不能存在。,情形2：假如23在C中，则86，8(10)在C中,从而39, 79在C中.,上面推理说明，G中不存在H圈，即彼得森图是非H图。,由对称性，只需考虑下面两种情形: (a) G-1,（b）G-6,(2) 证明对任意点v，G-v是H图。,(a) G-1中有H圈：54328(10)7965,(b) G-6中有H圈：54397(10)8215,由(1)与(2)，G是超H图。,定义2 若G中没有H路，但是对G中任意点v，G-v存在H路，则称G是超可迹的。,数学家加莱曾经猜想：不存在超可迹的
3、图。但该猜想被Horton和Thomassen以构图的方式否定了。,定理2 Thomassen图是超可迹图。,定理证明分为两部分: (1) 证明G中不存在H路；(2) 证明对G中任意点v，有G-v存在H路。,(1) 证明G中不存在H路。,如图所示，将G用虚线分成对称的4部分：, 。,假设G有H路P,设该路的起点为，终点为。,不失一般性，设 a。,断言1： a 中不存在以a , c , d三点中任意两点为端点的H路。,若不然，将推出彼得森图是H图。,断言2： a， b 中不存在以a 为端点的H路。,若不然，设Q是一条以a为起点的 a， b 中的H路。那么，从a出发，沿着该路行走有两种可能: (1
4、) 遍历了中所有点之后，从c或d进入，但这形成了 a 中的以a, c或a, d为端点的H路，与断言1矛盾！,(2) 没有遍历完 a 中的顶点，假若从c进入，那么，必须遍历完 b 的所有顶点后，才能从e进入。但这也会与断言1产生矛盾。,情形1：= a,所以，情形1不能成立！,由前面假设： a。,我们沿着P作如下的行进：,(1) 假设是由a进入，要能够走完P,必须遍历 的所有顶点后由b进入，但这与断言2矛盾！,(2) 假设是由a进入，要能够走完P,必须遍历 的所有顶点后由b进入，但这也与断言2矛盾！,情形2： a,所以，情形2也不能成立！,我们沿着P作如下的行进：,(1) 假设是由遍历了 b所有顶
5、点从a进入，这与断言2矛盾！同样，假设是由遍历了 a所有顶点从b进入，这也与断言2矛盾！,(2) 假设是由开始，没有遍历 a ,b而从a或b进入，那么，要走完P,都必须遍历完的所有顶点后，才能重新进入 。但这要与断言2矛盾,综合上面的论述：得G中没有H路。,(2) 证明对G中任意点v，有G-v存在H路。,由对称性：我们取b和中顶点逐一分析即可。例如：,综上所述：得Thomassen图是超可迹图。,关于H图的一些猜想,1、加莱猜想：不存在超可迹的图。,加莱猜想是错误的。Thomassen图否定了加莱猜想。,加莱(1912-1992) 匈牙利数学家。他和Erdos, 托兰是当时匈牙利国家数学竞赛获
6、胜者，后来成为一生的朋友。,加莱深受哥尼的影响而对图论产生极大兴趣，以至于他对图论基础理论做出了重大贡献，推动了图论与组合数学的迅速发展。同时，他也是最早认识所谓的“极小-极大定理”重要性的数学家之一。,加莱为人谦虚低调，很少在公开场合露面。常常在赞扬别人工作时低估自己的成绩。不喜欢发表自己研究成果。,2、泰特猜想：任何3连通3正则可平面图是H图。,泰特猜想也是错误的。托特1946年构图否定了泰特猜想。,Lederberg等构造了最小的3连通3正则图非H图，有38个点。,如果泰特猜想正确，4色定理可得到证明。,托特(1917-2002) 英国著名数学家。1935年，入剑桥三一学院学习化学，并攻
7、读了化学研究生，撰写了2篇化学论文。但是，他的兴趣是数学。在剑桥，他结识了3位数学专业的本科学生并成为终身朋友，合作发表数学论文。二战后，托特回到剑桥攻读数学研究生。研究生期间，发表了关于图的因子分解论文。在他的数学博士论文中，复兴了拟阵理论(惠特尼引入的).1948年博士毕业后，受20世纪伟大的几何学家Coxeter邀请前往多伦多大学任教，成为组合数学杰出学者。5年后到滑铁卢大学工作直到1984年退休。,托特是20世纪伟大的数学家之一，在近代数学史上占有一定的地位。主要功绩是提出并证明了图的完美匹配定理。,托特还喜欢写诗，在1969年写了一首反映图论的诗：,哥尼斯堡的一些市民，,漫步在河畔。
8、,在普雷格尔河旁，,有七座桥相伴。,“Euler,我们一起散步吧！”,那些市民在召唤。,“我们在这七座桥上漫步，,经过每座桥仅一次。”,“你们做不到”，Euler大声吼道。,“结果就是这样，,岛屿作为顶点，,四个点有奇数度”。,从哥尼斯堡到哥尼的书，,图论的传说正是如此，,而且越来越精彩，,绽放在密歇根和耶鲁,该猜想错误。Meredith构图对猜想进行了否定。,3、纳什威廉斯猜想：每个4连通4正则图是H图。,Meredith图是由彼得森图的每个顶点嵌入一个K3,4作成。,该猜想错误。Coxeter构图对猜想进行了否定。,4、托特猜想：每个3连通3正则偶图是H图。,该猜想是正确的，已经得到证明。
9、,5、普鲁默猜想：每个2连通图的平方是H图。,定义：图G的平方G2是这样的图:,值得一提的是：在H问题研究中，H图中H圈的计数问题也是一个研究方向。,定理：每个3正则H图至少有3个生成圈。,我院张先迪、李正良教授曾经也研究过H图中H圈的计数问题。90年在系统科学与数学学报上发表文章：“有限循环群上Cayley有向图的H回路”，得到了该类图的H圈的计数公式。,(二)、E图和H图的关系,从表面上看，E图与H图间没有联系。因为我们可以不费力地找到: (1) E图但非H图；(2) E图且H图；(3) H图但非E图; (4) 非E图且非H图.,定义3 设G是图，G的线图L(G)定义为：,特别地，定义G的
10、n次迭线图Ln(G) 为：,1、线图概念,(1) 线图L(G)顶点数等于G的边数；若e=u v是G的边，则e作为L(G)的顶点度数为：d(e)=d(u)+d(v)-2 .,2、线图的性质,(2) 若G=(n, m), 则线图L(G) 边数为：,证明：由线图的定义，L(G)有m个顶点。对于G中任一顶点v，关联于该顶点的d(v)条边将产生L(G)中 条边。所以L(G)中的总边数为：,(3) 一个图同构于它的线图，当且仅当它是圈。,(4) 若图G和G1有同构的线图，则除了一个是K3而另一个是K1,3外，G和G1同构。(证明比较复杂),3、从线图的角度考察E图与H图的关系,定义4 称Sn是图G的n次细
11、分图，是指将G的每条边中都插入n个2度顶点。,又记：,定理3 (1)若G是E图，则L(G) 既是E图又是H图。 (2)若G是H图，则L(G)是H图。,注：该定理逆不成立。,定理4 一个图G 是E图的充要条件是L3(G)为H图,定理5 （Chartarand）若G 是n个点的非平凡连通 图，且不是一条路，则对所有mn-3，Lm(G) 是H图。,作业,请总结本章内容,Email: ,图论及其应用,任课教师：杨春,应用数学学院,第五章 匹配与因子分解,主要内容,一、偶图的匹配问题,二、图的因子分解,三、匈牙利算法与最优匹配算法,教学时数,安排6学时讲授本章内容,本次课主要内容,(一)、图的匹配与贝尔
12、热定理,(二)、偶图的匹配与覆盖,(三)、托特定理,偶图的匹配问题,1、图的匹配相关概念,(1)、匹配 M- 如果M是图G的边子集(不含环），且M中的任意两条边没有共同顶点，则称M是G的一个匹配或对集或边独立集。,(一)、图的匹配与贝尔热定理,如果G中顶点v是G的匹配 M中某条边的端点，称它为M饱和点，否则为M非饱和点。,M1=v6v7,M2=v6v7, v1v8,M3=v6v7, v1v8, v3v4,M1,M2,M3等都是G的匹配。,(2)、最大匹配 M- 如果M是图G的包含边数最多的匹配，称M是G的一个最大匹配。特别是，若最大匹配饱和了G的所有顶点，称它为G的一个完美匹配。,注：一个图G
13、不一定存在完美匹配。,(3)、M交错路- 如果M是图G的匹配，G中一条由M中的边和非M中的边交错形成的路，称为G中的一条M交错路。特别地，若M交错路的起点与终点是M非饱和点，称这种M交错路为M可扩路。,在下图中：,设M=v7v8 , v3v4，则：,路v6v7v8v3v4与v1v7v8v2都是M交错路。其中后者是M可扩路。,2、贝尔热定理,定理1 (贝尔热，1957) G的匹配M是最大匹配，当且仅当G不包含M可扩路。,证明：“必要性”,若G包含一条M可扩路P,则可令该可扩路为：,显然，P中M中的边比非M中的边少一条。于是作新的匹配M1,它当中的边由P中非M中边组成。M1中边比M中多一条，这与M
14、是G的最大匹配矛盾。,“充分性”,若不然，设M1是G的一个最大匹配，则|M1|M|。,令H = M1M。,容易知道：GH的每个分支或者是由M1与M中边交替组成的偶圈，或者是由M1与M中边交替组成的路。,在每个偶圈中，M1与M中边数相等；但因|M1|M|，所以，至少有一条路P，其起点和终点都是M非饱和点，于是，它是G的一条M可扩路。这与条件矛盾。,注：贝尔热定理给我们提供了扩充G的匹配的思路。,贝尔热(1926-2002) 法国著名数学家。他的无限图理论及其应用(1958) 是继哥尼之后的图论历史上的第二本图论专著。他不仅在图论领域做出了许多贡献，而且四处奔波传播图论，推动了图论的普及和发展。,
15、1993年，他获得组合与图论领域颁发的欧拉奖章。,贝尔热在博弈论、拓扑学领域里也有杰出贡献。在博弈领域，他引入了Nash均衡之外的另一种均衡系统。Nash的生活被改编成电影美丽的心灵，获02年奥斯卡金像奖。,贝尔热对中国的手工艺很感兴趣。他也是一位象棋高手，还创作过小说谁杀害了Densmore公爵。,(二)、偶图的匹配与覆盖,在日常生活，工程技术中，常常遇到求偶图的匹配问题。下面看一个例子：,1、问题的提出,有7名研究生 A, B, C, D, E, F, G毕业寻找工作。就业处提供的公开职位是：会计师(a) ,咨询师(b),编辑(c ),程序员(d), 记者(e), 秘书(f)和教师(g)。
16、每名学生申请的职位如下：,A : b, c ; B : a, b, d, f, g ; C : b, e ; D : b, c, e ;,E : a, c, d, f ; F : c, e ; G : d, e, f, g ;,问：学生能找到理想工作吗？,解：如果令X=A, B, C, D, E, F, G,Y=a, b, c, d, e, f , g,X中顶点与Y中顶点连线当且仅当学生申请了该工作。于是，得到反映学生和职位之间的状态图：,问题转化为求饱和X每个顶点的一个匹配！,A : b, c ; B : a, b, d, f, g ; C : b, e ; D : b, c, e ;,E : a, c
