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1、第三章 半导体中载流子的统计分布,3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计分布 3.3 本征半导体的载流子浓度 3.4 杂质半导体的载流子浓度 3.5 简并半导体,重点和难点 热平衡时非简并半导体中载流子的浓度分布 费米能级EF的相对位置,热平衡状态,在一定温度下，载流子的产生和载流子的复合建立起一动态平衡，这时的载流子称为热平衡载流子。 半导体的热平衡状态受温度影响，某一特定温度对应某一特定的热平衡状态。 半导体的导电性受温度影响剧烈。,如何得到载流子的浓度？,在一定温度下，要计算半导体能带中的的载流子浓度，即单位体积中的导电电子数目和价带空穴数目，首先要解决两个问题： 1）能带中能
2、够容纳载流子的状态数目-状态密度 2）载流子占据这些状态的概率-分布函数,态密度的概念,能带中能量 附近每单位能量间隔内的量子态数。 能带中能量为 无限小的能量间隔内有 个量子态，则状态密度 为,3.1 状态密度,态密度的计算,状态密度的计算 单位 空间的量子态数 能量 在 空间中所对应的体积 前两者相乘得状态数 根据定义公式求得态密度,假定在能带中能量E（E+dE）之间无限小的能量间隔dE内有dZ个量子态，则状态密度g（E）为: （3-1） g（E）：能量E附近每单位能量间隔内量子态数,怎样得到g（E）? 通过k(k空间) 计算k空间的状态密度,1.算出单位k空间中量子态数（k空间的状态密度
3、）。 2.算出k空间中与能量dE 即E（E+dE）间对应的k空间体积，用k空间体积和k空间中的状态密度相乘（dZ）。,根据 可求的状态密度g(E),3.1.1 k空间中量子态的分布,三维情况下电子每个允许状态都可以表示为k空间中的一个球内的点，它对应自旋相反的两个电子，二者的能量相同,波矢分量kx,ky,kz量子化的结果是：k空间的每个最小允许体积元是（2/L）3，即这个体积中只存在一个允许波矢（电子态），由一组三重量子数kx,ky,kz决定。 考虑自旋后，k空间的态密度为：2/(2/L)3=2V/83,在 空间中，电子的允许能量状态密度为 ，考虑电子的自旋情况，电子的允许量子态密度为 ，每个
4、量子态最多只能容纳一个电子。,3.1.2 状态密度 允许的量子态(允态)按能量如何分布? 计算半导体导带底附近的状态密度,导带底附近E(k)与k的关系：,一、考虑能带极值在k=0，等能面为球面（抛物线假设）的情况。,两个球壳之间体积是4k2dk，k空间中量子态密度是2V/82 ，所以，在能量E(E+dE)之间的量子态数为,k,k+dk,由式（3-2）求得k与E的关系,同理可算得价带顶附近状态密度gv（E）为:,特点： 状态密度与能量呈抛物线关系 有效质量越大，状态密度也就越大 仅适用于能带极值附近,二 实际半导体硅、锗，导带底附近，等能面为旋转椭球面 EC：极值能量 可计算得,mdn:导带底电
5、子状态密度有效质量,S：对称状态数,硅：导带底共有六个对称状态 s=6，将m1，mt的值 代入式，计算得mdn=1.08 m0 。对锗,s= 4，可以计算 得mdn=0.56 m0,硅、锗中，价带中起作用的能带是极值相重合的两个能带，这两个能带相对应有轻空穴有效质量（mp）1和重空穴有效质量（mp）h。,价带顶附近状态密度应为这两个能带的状态密度之和。相加之后，价带顶附近gv（E）仍可下式表示， 不过其中的有效质量mp为mdp.,mdp称为价带顶空穴的状态密度有效质量 硅，mdp=0.5m0；锗，mdp=0.37m0。,3.2 费米能级EF和载流子的统计分布,3.2.1 费米分布函数和费米能级
6、,费米狄喇克分布函数给出了理想电子气处于热平衡时能量为的轨道被电子占据的几率：,EF-费米能级（化学势）热平衡系统具有统一的化学势 统一的费米能级,根据量子统计理论，服从泡利不相容原理的电子遵循费米统计律 对于能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率 为 称为电子的费米分布函数 空穴的费米分布函数？,EF非常重要的一个量费米能或费米能量，它和温度T、半导体材料的导电类型n、p，杂质的含量以及能量零点选取有关。表示基态下最高被充满能级的能量。,只要知道EF数值，在定T下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定。,决定EF的条件： 半导体中能带内所有量子态中被电子占据的量子态数等于电子总数,费米分布
7、函数f（E）特性分析： a)当T=0K时：若EEF，则f(E)=0。,c)在一切温度下，当E=EF时，f(E)=1/2 d)在FD分布的高能尾部相应于EEFkT，FD分布简化成玻尔兹曼分布,b) T0K: 若E1/2 EEF，则f(E)1/2,在热力学温度零度时，费米能级EF可看成量子态是否被电子占据的一个界限。,系统热力学温度 0时，如量子态的能量比费米能级低，则该量子态被电子占据的概率50%； 量子态的能量比费米能级高，则该量子态被电子占据的概率50%。 量子态的能量等于费米能级时，则该量子态被电子占据的概率是50%。 标志-费米能级是量子态基本上被电子占据或基本上是空的,费米能级位置直观
8、地标志了电子占据量子态情况. 费米能级标志了电子填充能级的水平 对一系统而言, EF位置较高，有较多的能量较高的量子态上有电子。,EF的意义：,图给出的300K、1000K，1500K时f(E)与E的曲线，从图中看出，随着温度的升高，电子占据能量小于费米能级的量子态的概率下降，而占据能量大于费米能级的量子的概率增大。,Temperature Dependent!,费米能级EF,EC,EV,EI,3.2.2 玻尔兹曼分布函数,电子的费米分布函数 E-EFk0T时,显然,在一定温度T，电子占据E的的概率由 e-E/k0T定-玻耳兹曼统计分布函数 fB(E)称为电子的玻耳兹曼分布函数,我们讨论f（E
9、） ： f（E）表能量为E的量子态被电子占据的概率， 1-f（E）必然表示能量为E的量子态不被电子占据的概率，表量子态空（被空穴占据）的概率。,当（EF-E）k0T时，,空穴的费米分布函数,表明当E远低于EF时，空穴占据能量为E的量子态的概率很小，即这些量子态几乎都被子电子所占据了。,EF,半导体材料中，EF位于禁带内，一般 Ec EF k0T EF Ev 对导带中的所有量子态，EEc0,被电子占据的概率，一般都满足f(E)1，半导体导带中的电子分布可以用电子的玻耳兹分布函数描写。 价带道理相同,E增大，f(E)减小，导带中绝大多数电子分布在导带底附近,价带中的量子态，被空穴占据的概率，一般满
10、足1-f(E)1。 价带中的空穴分布服从空穴的玻耳兹曼他分布函数。 E增大，1-f（E）增大，价带中绝大多数空穴集中分布在价带顶附近。,（3-13）、（3-14）两个基本公式。 服从玻耳兹曼统计律的电子系统-非简并性系统,服从费米统计律的电子系统-简并性系统,知识点小结,1，态密度的概念 2，状态密度的含义，和表达式 3，费米分布与玻尔兹曼分布 4，费米能级的含义及其重要性 5，简并和非简并半导体,3.2.3 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 概率已知、状态密度已知： 如何计算计算半导体中的载流子浓度？,状态密度为gc(E)，E处参量E（E+dE）之间有dZ=gc(E)dE个量子态，而电子占
11、据能量为E的量子态的概率是f（E），则在E（E+dE）间有 f(E)gc(E)dE个电子。,从导带底到导带顶对f(E)gc(E)dE进行积分，就得到了能带中的电子总数，再除以半导体体积V，就得到了导带中的电子浓度。,图为能带、函数f(E)、1-f(E)、gc(E)、 gv(E) 等曲线,图（e）中可看出，导带中电子的大多数是在导带底附近，而价带中大多数空穴则在价带顶附近。,图e为f(E)gc(E)和1-f(E)gv(E)等曲线。,在非简并情况下，导带中电子浓度可计算如下。 在能量E（E+dE）间的电子数dN为,得能量E（E+dE）之间单位体积中的电子数为,对上式各分，得热平衡状态下非简并半导体
12、的导带电子浓度n0为,积分上限E c是导带顶能量。 作一变换：x=(E-Ec)/(k0T)， （3-15）变为,导带宽,积分上限改为 无穷不影响结果。 导带中的电子绝大多数在导带底部附近。,数学处理上带来了很大的方便，（3-16）可改写：,Nc T3/2是一很重要的量，称为导带的有效状态密度， 是温度的函数。,是电子占据能量为Ec的量子态的概率，（3-19）可理解为把导带中所有量子态都集中在导带底Ec， Ec处的状态密度为Nc。 导带中的电子浓度是Nc中有电子占据的量子态数。,同理，热平衡状态下，非简并半导体的价带中空穴浓度p0为,Nv T3/2是一很重要的量，称为价带的有效状态密度，是温度的
13、函数。 是空穴占据能量为Ev的量子态的概率,可理解为把价带中所有量子态都集中在导带底Ev， Ev处的状态密度为Nv，则价带中的空穴浓度是Nv中有空穴占据的量子态数。,空穴占据能量为Ev的量子态的概率,n0 、p0 与温度T有关，与EF有关。 T 的影响来自两方面 ： Nc、Nv正比于T3/2 指数部分随温度迅速变化。,EF, T 确定，就可以计算导带电子浓度和价带空穴浓度,n0 、p0 与温度T有关，与EF有关。 可由n0p0 得到很有意思的结果。,所以 重要结论：电子和空穴的浓度乘积和费米能级无关。 半导体材料定，乘积n0p0只决定于温度T，与所含杂质无关。,给定温度T，半导体材料不同，禁带
14、宽度Eg不同，乘积n0p0也将不同。 普遍适用本征半导体和杂质半导体（热平衡状态、非简并）。,上式可看出，半导体材料定，则Eg一定。温度定，乘积n0p0定。 半导体处于热平衡状态时，载流子浓度的乘积保持恒定，如果电子浓度增大，空穴浓度就要减小；反之亦然。,3.3 本征半导体的载流子浓度 本征半导体：无杂质和缺陷的半导体，能带如图。在热力学温度零度时，价带中的全部量子态都被电子占据，而导带中的量子态全空，半导体中共价键饱和、完整。,本征激发：当半导体的温度T0K时，就有电子从价带激发到导带去，同时价带中产生了空穴。,n0 = p0,（本征激发下的电中性条件）,本征激发，电子和空穴成对产生， n0
15、=p0 （3-28） 本征激发下的电中性条件 就能求得本征半导体的费米能级EF （本征用符号Ei表示）。,上述三种半导体材料的1n（ mp*/mn* ）在2以下。 EF约在禁带中线附近1.5k0T范围内。 在室温（300K）下，k0T0.026eV，而硅、锗、砷化镓的禁带宽度约为1eV左右，因上式（3-30）中第二项小得多，所以本征半导体的费米能级Ei基本上在禁带中线处。,锑化铟室温时禁带宽度Eg0.17eV，而 mp*/mn* 之值约为32左右，于是它的费米能级Ei已经远在禁带之上。,本征载流子浓度ni为 式中Eg=Ec-Ev为禁带宽度。,Discussion: 一定的半导体材料，本征载流子
16、浓度ni随温度的升高而迅速增加（指数增长）； 不同的半导体材料，在同一温度T时，禁带宽度Eg越大，本征载流子浓度ni就越小。,According to 得到n0p0=n2i （质量作用定律） 说明:在一定温度下，任何非简并半导体的热平衡载流子浓度的乘积n0p0等于该温度时的本征载流子浓度ni的平方，与所含杂质无关。 不仅适用于本征半导体材料，而且也适用于非简并的杂质半导体材料。,常见半导体在室温下的本征载流子浓度： Si: ni=1.51010cm-3 Ge: ni=2.41013cm-3 GaAs: ni=1.1107cm-3,常见半导体本征载流子浓度和温度关系,Lnni-1/T 直线关系,半导体中总是含有一定量的杂质和缺陷的，在一定温度下，欲使载流子主要来源于本征激发，要求
