《维周期场中电子运动的近自由电子近似》由会员分享，可在线阅读，更多相关《维周期场中电子运动的近自由电子近似（53页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、Nearly Free Electron Model,通过模型的讨论，了解在周期场中运动的电子本征态一些最基本的特点。,一维周期场中电子运动的近自由电子近似,模型和微扰计算,Nearly free electron model 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用 假定势场的起伏较小,零级近似 用势场平均值代替原子实产生的势场,周期性势场的起伏量作为微扰来处理,1）零级近似下电子的能量和波函数,一维N个原子组成的金属链，金属的线度,零级近似下,薛定谔方程,波函数和能量本征值,波函数满足 正交归一化, l 为整数,2）微扰下电子的能量本征值,哈密顿量,满足周期边界条件,根据微扰理论，电子的能量
2、本征值,一级能量修正,平均势场 的定义,二级能量修正, 按原胞划分写成, 引入积分变量,利用势场函数的周期性,i),ii),将 和 代入, 周期场V(x)的第n个傅里叶系数,二级能量修正式,计入微扰后电子的能量,3）微扰下电子的波函数,电子的波函数,波函数的一级修正,计入微扰电子的波函数,令,可以证明,电子波函数, 具有布洛赫函数形式, 电子波函数的意义,i) 电子波函数和散射波, 波矢为k的前进的平面波, 平面波受到周期性势场作用产生的散射波,散射波的波矢,相关散射波成份的振幅,散射波,散射波成份的振幅,波函数一级修正项, 微扰法不再适用了,ii) 电子波函数和不同态之间的相互作用,掺入与它
3、有微扰矩阵元的其它零级波函数,在原来的零级波函数 中, 它们的能量差越小 掺入的部分就越大,当 时, 两个状态具有相同的能量, 导致了波函数的发散, 电子能量的意义,二级能量修正,当, 电子的能量是发散的, k和k两个状态具有相同的能量，k和k态是简并的,4）电子波矢在 附近的能量和波函数, 简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合构成,状态, 是一个小量,周期性势场中，对其有主要影响的状态, 只考虑影响最大的状态，忽略其它状态的影响,状态 对状态 的影响,简并波函数,薛定谔方程,考虑到,得到,分别以 或 从左边乘方程，对 x 积分,利用,线性代数方程,a, b有非零解,能量本征值,和,i)
4、,波矢k离 较远，k状态的能量和状态k差别较大,将 按 泰勒级数展开, k和k能级相互作用的结果是原来能级较高的k提高 原来能级较低的k下压, 量子力学中微扰作用下，两个相互影响的能级，总是 原来较高的能量提高了，原来较低的能量降低了, 能级间“排斥作用”,ii),波矢k非常接近 ，k状态的能量和k能量差别很小,将 按 泰勒级数展开,Comments,i) 两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-，原来能量高的状态 ，能量提高；原来能量低的状态 能量降低,两个相互影响的状态k和k微扰后，能量变为E+和E-,ii) 当 0 时, 0, 0 两种情形下完全对称的能级图, A和C、B和D代
5、表同一状态 它们从0, 0两个方向当0的共同极限,2. 能带和带隙（禁带）, 零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线, 微扰情形下：电子的k不在n/a附近时，与k状态相互作用的其它态的能量与k状态的零级能量相差大,即满足, 抛物线,可忽略,当电子的 和 两种情形时, 微扰计算中，只考虑以上两种状态之间的相互作用,在 存在一个的态 ，和 状态能量相近,存在一个状态 ，和 状态能量相同,由于周期性势场的微扰，能量本征值在 处断开,能量的突变,两个态的能量间隔, 禁带宽度,电子波矢取值, 对于一个l，有一个量子态k,能量本征值, 当N很大时，Ek视为准连续, 由于晶格周期性势场的影
6、响，晶体中电子准连续的能级分裂为一系列的能带,能量本征值在 处断开, 结果分析讨论,1) 能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲,2) 禁带出现在波矢空间倒格矢的中点处,3) 禁带的宽度, 取决于金属中势场的形式 在带隙中不存在能级, 能带及一般性质 总结,自由电子的能谱是抛物线型, 晶体弱周期性势场的微扰，电子能谱在布里渊边界,产生了宽度 的禁带, 发生能量跃变, 在远离布里渊区边界，近自由电子的能谱和自由电子的能谱相近, 每个波矢k有一个量子态，当晶体中原胞的数目趋于无限大时，波矢k变得非常密集，这时能级的准连续分布形成了一系列的能带, 各能带之间是禁带, 在完整的晶体中，禁带内没
7、有允许的能级, 一维布喇菲格子，能带序号、能带所涉及波矢k的范围和布里渊区的对应关系,一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系, 每个能带中包含的量子态数目,波矢k的取值, k的数目,每个能带对应k的取值范围,各个能带k的取值数目, 原胞的数目, 计入自旋，每个能带中包含2N个量子态,电子波矢和量子数简约波矢的关系, 第一布里渊区,近自由电子中电子的波矢,在一维情形中 m为整数,简约波矢 的取值范围,平移算符本征值量子数k（简约波矢，计为 ）和电子波矢k之间的关系, l 为整数,电子的波函数,可以表示为, 晶格周期性函数,将 代入, 晶格周期性函数,晶体中电子的波函数, 利用电子波矢
8、和简约波矢的关系，电子在周期性势场中的波函数为布洛赫函数,用简约波矢来表示能级, 电子的能级, m为整数，对应于不同的能带,电子波矢k和简约波矢 的关系,第一能带位于简约布里渊区，其它能带可以通过倒格矢,移到简约布里渊区, 每一个能带在简约布里渊区都有各自的图像，得到所有能带在简约布里渊区的图像, 简约波矢的取值被限制在简约布里渊区(IBZ)，要标志 一个状态需要表明： 1) 它属于哪一个能带（能带标号） 2) 它的简约波矢 是什么？, 用简约波矢来表示零级波函数,零级波函数,将 代入得到, 与用简约波矢表示能带一样，必须指明波函数属于哪一个能带, 周期性势场的起伏只使得不同能带相同简约波矢 的状态之间的相互影响, 对于一般的 （远离布里渊边界）这些状态间的能量相差较大，在近自由电子近似的微扰计算中，采用非简并微扰,简约波矢 及其 附近，存在两个能量相同或能量相近的态，需要简并微扰理论来计算,结果表明在 和 不同能带之间出现带隙 禁带,近自由电子近似：假定周期场的起伏比较小，作为零级近似，可以用势场的平均值,
