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1、第三章 随机信号的描述,（Random Signal Representation）,信号可分为确定性信号和随机信号。在数字信号处理中，随机信号的处理有重要的意义，因为随机信号的普遍存在的，如信号的任何实际测量都会带来随机干扰。在很多实际应用领域，消除随机信号的干扰，提取被掩埋于其中的确定成分是根本的任务。还因为随机信号处理技术在信号处理领域作为一种强有力的工具使用。在实际应用中要区别的是随机性与非线性，随机信号与非线性信号。应该注意的是，在信号处理中作为一种工具使用的伪随机数或伪随机信号，是由计算机用非线性算法产生的非线性信号，“伪”的真实意义即在于此(貌似随机实为确定)。,第一节 随机信号
2、（Random Signal）,确定性信号和随机信号是信号处理技术中涉及的两大类信号。所谓确定性信号，就是其每个时间点上的值可以用某个数学表达式或图表唯一地确定的信号。所谓随机信号就是不能用一个确切的数学公式来描述，因而也不能准确地与以预测的信号。换句话来说，随机信号只能用统计的方法进行描述，只能在一定的准确性（accuracy）或可信性（confidence）范围内进行预测。,一、随机信号的性质 1. 随机信号中的任何一个点上的取值都是不能先验确定的随机变量。 以最简单的抛硬币实验为例，每次抛掷结果有两种可能的状态，一是硬币的正面朝上，另一是硬币的反面朝上。如果把正面朝上用x=+1表示，反面
3、朝上用x=-1表示，连续地抛掷，可以得到一个由+1和-1组成的一个序列x(n)，如图3-1所示。,图3-1 抛硬币得到的随机样本序列,2.随机信号可以用它的统计平均特征来表征 虽然上述抛硬币实验所得到的随机序列在任何n点上都无法事先预料确定的结果，但人们经过长期实践和深入研究之后发现，在大量重复实验或者观察下，它的结果会呈现某种规律性。表3-1是历史上几位著名学者的实验记录。,由表3-1可以看出，随着抛掷次数的增加，比值m/n在1/2附近摆动，而且总是在1/2附近摆动。这种在个别实验中其结果呈现不确定性，在大量重复实验中其结果又具有规律性的现象，称之为随机现象，大量同类随机现象所呈现的固有规律
4、称为随机现象的统计特征。,二、随机过程的普遍存在性 随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的。一方面，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。噪声按功率谱密度划分可以分为白噪声（white noise）和色噪声（color noise），我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号（pure random signal）。,第二节 随机信号的古典表示法,(Classical Statistical Method),对于一个随机信号，虽然我们不能确定它的每个时刻的值，但
5、可以从统计平均的角度来认识它。我们可以知道它在每个时刻可能取哪几种值和取各种值的概率是多少，以及各个时间点上取值的关联性。因此，如果已经知道了它的概率分布，我们就认为对这个随机信号在统计意义上有了充分的了解。而随机过程的各种统计特征量分别从各个侧面间接反映了概率分布特性。,一、概率分布函数 1. 一维概率分布函数 对于一个随机变量,用来表示它的概率分布函数，则有： (3-1) 如果的取值是离散的，则用来表示概率密度函数： (3-2) 表示取某一值的概率。例如前面抛掷硬币的例子，只有两种可能的值：1和1，如果1的概率为p，则1的概率为（1p）。两者之间的关系为： (3-3) 图3-2表示了这个随
6、机变量的概率分布函数及概率密度函数。,图3-2抛掷硬币的概率分布函数和概率密度函数,2. 二维概率分布函数 如果我们要描述一个随机过程中的两个时间点（n1与n2）上的随机变量和之间的关系，可以用二维联合概率分布函数来表示： (3-4) 它表示同的联合概率。 二维联合概率分布函数的二阶偏微分对应着相应的二维联合概率密度函数： (3-5) 它代表取值同时取值的联合概率。 从随机变量和的二维联合概率密度可以求得和各自的一维概率密度以及条件概率密度。因此二维联合概率密度不仅蕴涵了一维概率密度，而且蕴涵了条件概率密度。 当随机变量和统计独立时则有： (3-6),3. 平稳随机信号 如果随机信号的概率特性
7、不随时间变化而变化，则称为平稳随机信号。完全平稳的要求是非常苛刻的。一般可使用较弱的条件：即用m阶平稳来描述一个随机过程，阶数越高，越接近平稳。 一阶平稳过程( first order stable process )：信号的平均值与t无关的过程叫一阶平稳过程（m=1）。二阶平稳过程：二阶（m=2）平稳过程需满足：（1）信号的平均值与t无关；（2）信号的均方值与t无关；（3）信号的协方差只是时间间隔的函数，而与时间原点的选择无关。 如果过程是高斯过程，则二阶平稳意味着完全平稳。因此，以后我们至少把二阶平稳过程叫准平稳过程或广义平稳过程。今后我们所提到的平稳随机过程均认为是广义平稳随机过程。,二
8、、统计特征量 1.数学期望（均值） 随机变量的均值用表示定义为： (3-7) 如果是电压或者电流，均值可理解为第n点上电压或电流的“直流分量”。 2.均方值 随机变量的均方值定义为： (3-8) 如果是电压或者电流，均方值可理解为在第n点上电压或电流在1欧姆电阻上的“平均功率”。 3.方差 随机变量的方差定义为： (3-9) 如果是电压或者电流，方差可以理解为电压或者电流的起伏分量在1欧姆电阻上消耗的平均功率。 利用（36）容易得到方差、均值、均方值的关系： (3-10) 以上三个特征量仅与一维概率密度有关。对于平稳随机过程，方差、均值、均方值都是与时间无关的常熟，可以将时间坐标省去，今后将用
9、和来表示均值与方差。,4.协方差 一个平稳随机信号的自协方差定义为： (3-11) 对于两个平稳随机过程xn和yn的互协方差定义为： (3-12) 5.相关函数 一个平稳随机信号中的两个时间点上的随机变量和之间的自相关函数定义为： (3-13) 对于两个平稳随机过程xn和yn的互相关函数定义为： (3-14) 自相关函数和自协方差是衡量随机过程在不同时刻上的随机变量之间的相关性的量，利用(3-11)和(3-13)可以看出两者有如下关系： (3-15) 两者只相差一个常数，它们之间没有本质上的区别。 互相关函数和互协方差是衡量两个随机过程xn和yn的随机变量间的相关性，利用(3-12)和(3-1
10、4)可以看出两者有如下关系： (3-16) 相关函数或者协方差是与二维概率分布有关的统计特性，也隐含了一维特征量，因此相关函数或协方差是表征一个随机过程的最重要的统计特性。,三、各态遍历随机信号 上面我们讨论了一些统计特征量的定义与求法，都需要预先知道一维、二维概率分布，在实际上这是不现实的。虽然用无穷多个平行样本序列（集合）的平均得到的统计特性倾于统计平均，但要对一个平稳随机过程获得很多的平行样本序列在实际中也是很困难的。 由于平稳随机过程的概率分布不随时间的平移而变化，全体集合的平均就可以用无穷时间的平均来代替，这就是各态遍历假设。 各态遍历随机信号（ergodic random sign
11、al）是指所有样本函数在某给定时刻的统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致的平稳随机信号。,对于一个平稳各态遍历随机过程，如果我们测得该过程的一个样本值，就可以计算出以下的一些样本数字特征，可以用它们来估计统计特征量： 1.样本平均值 (3-17) 2.样本均方值 (3-18) 3.样本方差 (3-19) 4.样本协方差 (3-20) 是另外一个平稳随机过程的样本，是它的样本平均值，当与相同时，上式求到的就是样本自协方差。 5.样本相关函数 (3-21),【例3-1】图3-3所示是随机产生的符合高斯分布的100点样本序列，并且均值为零，方差为1。讨论该信号的样本特征量。 解我们用样本统
12、计法来估计这一个样本的数字特征量，有：,图3-3一段100点的随机样本序列,由样本得到的统计结果和随机过程的统计特征值是不同的，因而我们能得到的只是一些估计值。平稳随机信号的相关函数和协方差应该只相差一个常数，但是用样本估计时，它们的差值是变化的量，如图3-4所示。当m0时，有最大的自相关和自协方差，这个很容易理解，也即当信号没有平移时相似性最大。,图3-4上、中、下分别是自协方差和自相关函数以及这两个信号的差,第三节 随机信号的现代建模法,（Modern Modeling Method for Signal）,为随机信号建立参数模型是研究随机信号的一种基本方法，其含义是认为随机信号是由白噪激
13、励某一确定系统的响应（如图3-5）。只要白噪的参数确定了，研究随机信号就可以转化成研究产生随机信号的系统。,图3-5随机信号的参数模型,经典信号建模法（classical modeling method for signal）前面已经指出，医学信号处理的目的是提取包含于随机信号中的确定性成分，以便在一定的准确性（最小二乘意义）上进行预测。这就是建立各种各样的确定性数学模型，包括代数、微分、积分、差分方程模型。这是经典的信号建模方法。 信号的现代建模方法（Modern modeling method for signal）是建立在具有最大的不确定性基础上的预测。提出了众多的数学模型( mathe
14、matical models)。根据Wold的证明：任何平稳的ARMA（自回归移动平均）模型或MA模型均可用无限阶或阶数足够的AR模型去近似。因此本节着重介绍AR模型的基本原理和方法。 对平稳随机信号，三种常用的线性模型分别是AR模型（自回归模型Auto-regression model），MA模型（滑动平均模型Moving average model）和ARMA模型（自回归滑移平均模型Auto-regression-Moving average model）。,一、MA模型 随机信号 由当前激励 和若干次过去激励 线性组合产生： (3-22) 该模型的系统函数是： (3-23) 表示系统阶数
15、，系统函数只有零点，没有极点，所以该系统一定是稳定的系统，也称为全零点模型，用MA（q）来表示。 二、AR模型 随机信号由本身的若干次过去值和当前的激励值线性组合产生： (3-24a) 该模型的系统函数是： (3-24b) p是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用AR（p）来表示。,三、ARMA模型 ARMA是AR与MA模型的结合： (3-25) 该模型的系统函数是： (3-26) 它既有零点又有极点，所以也称极零点模型，要考虑极零点的分布位置，保证系统的稳定，用ARMR（p，q）表示。 在随机信号时域分
16、析中，提出了许多数学模型用来由已知在最大不确定原则下预测将来值，其优点是只需要很少的已知值。但是它不能用在信号是确定性的场合，在确定信号的情况下，信号是由确定的数学方程预测的。这点要特别注意。例如，如果我们用心电的R波升支作已知数据进行随机预测，则预测值即为与R波上升支有关的数据，决不可能预测出整个P- QRS-T复合波来。 四、AR模型参数的估计 随机信号的建模法最近在生物医学信号处理中应用相当普遍，在自发脑电、诱发脑电、肌电、心电、胃电等方面都有人尝试应用模型法进行研究。应用较多的是AR模型，因为建立这种的模型计算工作比较容易。作为数学逼近，三种模型都可以互相转换。实际中选用哪一种模型就要考虑到节约和计算量，选定模型后，剩下的任务就是用适当的算法估计模型参数（ 、 、 、 ），以便用模型对随机信号进行预测。,
