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1、专题十四 二次函数中的面积计算问题,杭十三中 景余俊,如图，二次函数 图象与轴x交于A,B两点 (A在B的左边)，与 y轴交于点C，顶点为M ， 为 直角三角形, 图象的对称轴为直线 ，P点是 抛物线上位于A、C两点之间的一个动点， 则 的面积的最大值为（ ）,C,（西湖区2011学年第一学期期末测试）,P,-3,-1,3,Q,P,Q,二次函数中面积问题常见解决方法：,一、运用,二、运用,四、运用分割,三、运用相似,例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)， 交y轴于点B。 （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求CAB的铅垂高CD及SCAB ； （3）设点P是
2、抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 是否存在一点P，使SPAB,SCAB ，若存在，求出P点的坐标； 若不存在，请说明理由。,一、运用,（3）设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h,练习1如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA， 将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的 周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方， 那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及 PAB
3、的最大面积；若没有，请说明理由,解：（1）如图1，过点B作BMx轴于M由旋转性质知OBOA2 AOB120，BOM60,M,C,（3）存在,x1代入直线AB的解析式,点C的坐标为(1， ),P,（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为,2.如图，抛物线yx 2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q， 使得QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使PBC的面积最大？ 若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大
4、值；若不存在，请说明理由,Q,P,3如图，已知抛物线yax 2bx4与直线yx交于点A、B两点， A、B的横坐标分别为1和4。 （1）求此抛物线的解析式。 （2）若平行于y轴的直线xm（0m,1）与抛物线交于点M，,（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM 的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。,与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。,抛物线的解析式为yx 22x4,MNMPPNm 23m4,当m1.5时，S有最大值。,例2. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的 顶点坐标分别为A（0，2），O（
5、0，0），B（4，0），把AOB绕 点O逆时针方向旋转90得到COD（点A转到点C的位置）， 抛物线yax 2bxc(a0)经过C、D、B三点 （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的顶点为P，求PAB的面积； （3）抛物线上是否存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积？ 若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由,二.运用,P,(1)抛物线经过B（4，0），C（2，0） 可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4),D（0，4）代入上式,（2）SPABS四边形PEOB SAOB SPEA6,（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）,y2,E,C,练习1已知二次函数yx 2axa2 （
6、1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点； （2）设a 0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为,时，求出此二次函数的解析式； （3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P， 使得PAB的面积为,？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由,（1）a 24(a2)(a2)240 不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点 （2）设x1、x2是x 2axa20的两个根 则x1x2a，x1x2a2 此函数图象与x轴的两个交点的距离为,(x1x2)213即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13， 整理得(a1)(a5)0，解得a1或a5 a 0，a
7、1 此二次函数的解析式为yx 2x3,（3）设点P的坐标为（x，y）,|y|3，y3 再得x2或x3；x0或x1,P1（2，3），P2（3，3），P3（0，3）或P4（1，3）,2已知：t1，t2是方程t 22t240的两个实数根，且t1t2， 抛物线y,x 2bxc的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）,（3）在（2）的条件下，当OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P， 使OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由,（1）求这个抛物线的解析式； （2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与x
8、之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；,（3）当S24时, P的坐标为（3，4）、（4，4） 当点P为（3，4）时，满足POPA，此时，OPAQ是菱形 当点P为（4，4）时，不满足POPA，此时OPAQ不是菱形 要使OPAQ为正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为（3，3），而（3，3）不在抛物线上，故不存在这样的点P，使OPAQ为正方形,例3:如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2， 与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x 22x80的两个根 （1）求这条抛物线的解析式； （2）点P是线段AB上的动点，过点P作PEAC，交BC于
9、点E，连接CP， 当CPE的面积最大时，求点P的坐标；,（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q， 使QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标；若不存在，请说明理由,解：（1）解方程x22x80，得x12，x24 A（4，0），B（2，0）抛物线与x轴交于A，B两点， 可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)（a0） 又抛物线与y轴交于点C（0，4），a2(4)4，,三、运用相似,（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EGx轴于点G， 如图A（4，0），B（2，0），AB6，BPm2 PEAC，BPEBAC,SCPESCBPSBPE,2m4，当m1
10、时，SCPE有最大值3 此时点P的坐标为（1，0）,G,练习1如图，已知抛物线yax 2bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC） 是方程x 25x40的两个根，且抛物线的对称轴是直线x1 （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式；,（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作 DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S， 求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？ 若存在，求出最大值并求此时D点坐标； 若不存在，请说明理由,A（1，0
11、），B（3，0），C（0，4）,当m2时，S有最大值2,D点坐标为（1，0）,2如图，在梯形ABCD中，DCAB，A90，AD6厘米，DC4厘米， BC的坡度i3 : 4动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动， 动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点 同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止 设动点运动的时间为t秒 （1）求边BC的长； （2）当t为何值时，PC与BQ相互平分； （3）连结PQ ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式， 求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？,BC10,t=,0 t ,时,E,F,C,D,A,B,
12、Q,P,E,综合，得,当t3秒时，y有最大值为,厘米2,3. （11杭州）（本小题满分12分） 图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10， BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合）， 点O到EF，MN的距离分别为h1和h2， OEF与OGH组成的图形 称为蝶形。,（1）求蝶形面积S的最大值； （2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2 满足的关系式，并求h2的取值范围。,解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.,，,即,.,由,ABDAEF,例4如图，抛物线yx 22xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于 点C（0，3）（图2、图3为解答
13、备用图） （1）k ，点A的坐标为 ， 点B的坐标为 ； （2）设抛物线yx 22xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的 面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线yx 22xk上求点Q，使BCQ是以BC为直角边 的直角三角形,3,（1，0）,（3，0）,M,（2）M的坐标为（1，4）,S四边形ABMC SAOC SCOM SMOB9,四、运用分割方法,D,（3）设D（m，m 22m3），连结OD，如图 则0m3，m 22m30 S四边形ABDC SAOC SCOD SDOB,四边形ABDC的面积最
14、大,（4）Q1（2，5）和Q2（1，4）,练习1如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点A(1，0)和 点B(3，0)，与y轴交于点C （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P， 使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由；,（3）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE， 求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标,yx 22x3,S四边形BOCE 最大，且最大值为,E,2如图，已知抛物线ya(x1)2,(a0)经过点A(2，0)，,抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD
15、过顶点D平行于x轴的直线 交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的 时间为t（s）问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动 设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长,当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、 直角梯形、等腰梯形,3.练习：如图，O
