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1、数学直通车-统计概率,知识体系,第一节 随机抽样,基础梳理,1. 简单随机抽样 （1）定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（nN）,如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. （2）最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法. 2. 系统抽样 假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，步骤如下: （1）先将总体的N个个体编号； （2）确定分段间隔k,对编号进行分段，当 是整数时，取k= ； （3）在第1段用简单随机抽样确定第1个个体编号 ( k); （4）按照一定的规则抽取样本，通常是将 加上间隔k得到第2个个体编号(
2、 +k)，再加k得到第3个个体编号( +2k),依次进行下去，直到获取整个样本.,3. 分层抽样 (1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样. （2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.,4. 三种抽样方法比较,典例分析,题型一 简单随机抽样,【例1】某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件在同一条件下测量，请设计一种抽样方案.,分析 考虑到总体中个体数较少，利用抽签法或随机数法容易获取样本.,解 方法一（抽签法）:
3、将100件轴编号为1,2,，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本. 方法二(随机数表法):将100件轴编号为00,01，,99,在随机数表（见教材附表）中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个为68,34,30,13,70,55,74,30，77,40,这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本.,学后反思 （1）随机数法的步骤：将总体的个体编号；在随机数表中选择开始数字；读数获取样本号码.随机数法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签
4、难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数法抽取样本仍不方便; （2）一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：制签是否方便；号签是否容易被搅匀.一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法.,举一反三,1. 某事业单位有102名职工，从中抽取10人参加体检，试采用简单随机抽样进行具体实施.,解析： 将每一个人编一个号由001至102； 制作大小相同的号签并写上号码； 放入容器中，均匀搅拌； 依次抽取10个号码，具有这十个编号的人组成一个样本.,题型二 系统抽样,【例2】从某厂生产的905辆家用轿车中随机抽取90辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.,
5、分析 由于总体容量较大，因此，采用系统抽样法进行抽样，又因总体容量不能被样本容量整除，需先剔除5辆家用轿车，使得总体容量能被样本容量整除，取间隔k= =10;然后利用系统抽样的方法进行抽样.,解 可用系统抽样法进行抽样，抽样步骤如下： 第一步，将905辆轿车用随机方式编号； 第二步，从总体中剔除5辆（剔除法可用随机数法），将剩下的900辆轿车重新编号(分别为001,002,900)并分成90段； 第三步，在第一段001,002,010这十个编号中用简单随机抽样法抽出一个作为起始号码（如006）; 第四步，把起始号码依次加间隔10，可获得样本.,学后反思 在利用系统抽样时，经常遇到总体容量不能被
6、样本容量整除的情况，则可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.,举一反三 2. 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.,解析： （1）将每个人编一个号由0001至1003； （2）利用随机数表法找到3个号，将这3名工人排除; （3）将剩余的1 000名工人重新编号0001至1000; （4）分段，取间隔 ,将总体均分为10组，每组含100个工人; （5）从第一段，即从0001号到0100号中随机抽取一个号L; （6）按编号将L，100+L，200+L，900+L共10个号选出.这10个号所对应的工人组成样本.,题型三 分层
7、抽样,【例3】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的 ,且该组中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本. （1）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例; （2）在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.,分析 因本题中已给出了青年人、中年人和老年人三类，如何分配他们之间的比例和他们各自的人数是解决本
8、题的关键.,解 采用分层抽样的方法. (1)设登山组人数为x,在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，根据题意得 解得b=50%,c=10%.,故a=100%-50%-10%=40%,即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%. （2）在游泳组中，抽取的青年人人数为200 40%=60(人)；抽取 的中年人人数为200 50%=75(人);抽取的老年人人数为200 10%=15(人).,学后反思 分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点： （1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是
9、，层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠； （2）为保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性应相同； （3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.,举一反三 3. 某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本.（1）如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体，求样本容量n；（2）如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除一个个体，求样本容量n.,解析： （1）总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为 ，分层抽样的比例是 ,抽取工程师 6= （人），抽
10、取技术员 12= （人）,抽取技工 18= （人）.所以n应是6的倍数，36的约数，即n=6,12,18,36. (2)当样本容量为（n+1）时，总体容量是35，系统抽样的间隔为 .因为 必须是整数，所以n只能取6,即样本容量n=6.,题型四 抽样方法的综合应用,【例4】(12分)为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号,假定该校每班学生的人数相同）：从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；每个班
11、抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答下列问题： （1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？ （2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？ （3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.,分析 本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区别，准确把握三种抽样方法的概念与特点是解此题的关键;另外要注意叙述的完整性和条
12、理性.,解 （1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为1003 （2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法;第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.6 （3）第一种方式抽样的步骤：第一步，用抽签法在这20个班中任意抽取一个班;第二步，从这个班中按学号用随机数
13、表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩7 第二种方式抽样的步骤如下：第一步，用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a;第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人9,第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层.因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次;第二步，确定各个层次抽取的人数.因为样本容量与总体的个数之比为1001 000=110,所以在每个 层次中抽取的个体数依次为 ,即15,60,25;第三步，按层 次分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽15人；在
14、良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人12,学后反思 本题主要考查数理统计中一些基本的概念和方法.做这种题目时，应该注意叙述的完整性和条理性.,举一反三,4. 判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适. (1)一啤酒厂为了了解其产品的质量情况，在其生产流水线上每隔1 000瓶选取一瓶检验其质量； （2）一手表厂欲了解611岁少年儿童带手表的比例，周末来到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生； （3）为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，用简单随机抽样方法在全校所有的班级中抽取8个班级，调查这8个班级中所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的
15、支持率； (4)为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况.,解析： （1）合适；（2）不合适，这所学校的200名学生不能代表全部的611岁儿童；（3）合适；（4）不合适,调查的城市为省会，不满足随机抽样的随机性和机会均等性原理.,易错警示,【例】下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？并说明理由. （1）从无限多个个体中抽取100个个体作样本. （2）盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检查，在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后，再把它放回盒子中.,错解 （1）是简单随机抽样，因为样本是随机任意抽取的. （2）是简单随机抽样，因为就是从80个零件中任取5个零
16、件的抽样.,错解分析 上述两问题不具有简单随机抽样的特点：不放回、有限性.,正解 （1）不是简单随机抽样，由于被抽取样本的总体的个数不是有限的而是无限的. （2）不是简单随机抽样，由于它是放回抽样，而简单随机抽样的前提是不放回抽样.,考点演练,10. （2010茂名模拟）一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99.依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为t,则在第k组中抽取的号码个位数字与t+k的个位数字相同，若t=7，则在第8组中抽取的号码应是.,解析: t+k=7+8=15,第8组中75的个位数字与t+k的个位数字相同，所以为75.,答案
