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1、1,集 合,映 射,函 数,第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,(function and limit),( set ),( mapping ),( function ),第一章 函数与极限,2,1. 集合(set)概念与记号,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该,一、集合,集合,元素,(简称元),(集),元素(element).,集合的,通常以大写字母,等表示集合,以小写字母,等表示集合的元素.,否则记,记作,或,3,集合分类,有限集,无限集,只含有限个元素;,不是有限集的集合.,列举法,表示集合方法有两种,描述法,把集合的全部元素一一列出来,例,考察由下列元素,可以
2、用列举法将其表示成,组成的集合,外加花括号.,列举法有很大的局限性.,4,如:,由不超过,的奇数组成的集合,其元素有50亿个,要把它们全部写出来,且有很多集合, 其元素是,很多纸张!,根本无法一一罗列出来.,得用,很多时间,不可数的,5,更常用的是列出规定这个集合特定性质P 的办法来表示集合,就是,描述法.,花括号中竖线前的x,而竖线后,是 M 中元素的通用符号,则是 x 所具有的性质.,6,可用列举法表示为,的根组成的集合,也可用描述法表示为,例,由方程,7,对几个常用的数集规定记号如下,数集的字母的,数集内排除0的集.,“ ”,“ ”,数集内排除0与负数的集.,全体非负整数即自然数的集合,
3、N,即,N,全体正整数的集合为,N+,右上角,标上:,8,全体有理数的集合,即,Q,Z,N+,记作Q,全体复数的集合记作,C,即,C,R,全体整数的集合记作,Z,9,全体实数的集合,R为排除0的实数集,R+为全体正实数的集.,记作R,10,两个集合,一般地,子集,记作,则称,2. 集合(set)的关系及集合的运算,(1) 集合的关系,子集,(读作A包含于B),或,(读作B包含 A).,11,如,则,则称,集合A与B相等,集合相等,记作,12,如,空集.,不含任何元素的集合称为,则称,真子集,记作,如,N,Z,Q,R.,真子集,空集,规定,空集为任何集合的子集.,今后在提到一个,集合时,一般都是
4、,如不加特别声明,非空集.,13,2. 集合(set)的关系及集合的运算,集合的基本运算有三种:,并集,交集,差集.,即,记作,设 A, B 是两个集合,由所有属于A,称为A与B的,并集,AB,AB ,(2) 集合的运算,于B元素,或者属,组成的集合,14,称为A与B的,记作,即,交集,由所有既属于A,又属于B元素,集合的基本运算有三种:,并,交,差.,AB,AB,组成的集合,两个集的并与交可推广到任意多个集,推广,并与交.,15,由所有属于A,称为A与B的,差集,记作,即,集合的基本运算有三种:,并,交,差.,而不属于B的元素,组成的集合,例如,则,AB,AB,16,研究某个问题时所考虑的对
5、象的全体,记作,余集或补集.,并用 I 表示,称为,全集或基本集,并把差积,特别称为A的,例如,在实数集R中,集合,的余集,17,3. 集合(set)的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立:,(1) 交换律,AB,=BA,AB,=BA ;,(2) 结合律,( AB ) C,= A ( B C ) ,( AB ) C,= A ( B C ) ;,(3) 分配律,( AB )C,= ( A C )( B C ) ,( AB )C,= ( A C ) ( B C ) ;,18,(4) 对偶律,(AB)C,= AC BC ,(AB)C,= AC BC ;,(5) 幂等律,AA,AA,(6) 吸收律
6、,A,= A,= A;,= A,A,=,19,4. 直积 (乘积集或笛卡儿乘积),法国数学家、哲学家(Descartes 15961650年),设 A,B 是两个集合,则称,为 A, B 的,直积.,如,20,直积集的意义：对两个集合A、B的直积,又如,即为xOy面上,全体点的集合,常记作,即,直积一般也称为笛卡儿乘积.,是平面上的有理点集.,为有序“元素对”,中的元素,笛卡儿乘积一般表示平面点集.,21,5. 区间(interval),区间是指介于某两个实数之间的全体实数.,称为,这两个实数叫做区间的端点.,开区间,22,称为,闭区间,称为,有限区间,半开半闭区间.,23,无限区间,全体实数
7、的集合R 也可记作,是无限区间.,24,区间长度的定义,两端点间的距离(线段的长度),称为区间的,今后在不需要辨明所论区间是否包含,有限区间、,称它为,“区间”,常用I 表示.,长度.,无限区间的场合,端点、,简单地,25,6. 邻域(neighbourhood),数集,即,邻域,记作,几何表示,26,有时简记为,去心(空心),即,27,两个闭区间的直积表示xOy平面上的矩形,区域.,如,即为xOy平面上的矩形区域,这个区域在x轴与y,轴上的投影分别为闭区间,和闭区间,28,7. 逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“ ”,表示 “任取 ”, 或“任意给定”.,“ ”,表示 “存在
8、 ”,“至少存在一个”,或“能够找到”.,Any(每一个)或All(所有的)的字头A的倒写,Exist(存在)的 字头E的倒写,符号,“ ”,表示 “蕴含 ”,或 “推出”.,符号,“ ”,表示 “等价 ”,或 “充分必要”.,29,如实数的阿基米德 (Archmed) 公理是这样叙述的:,任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个,自然数n,用逻辑符号,将阿基米德公理改写:,练习,30,7. 绝对值(absolute value),运算性质,绝对值不等式,31,二、映射,1. 映射概念,(mapping),定义,设 X、Y 是两个非空集合,如果存在,一个法则f ,使得对,通过f ,在Y中有唯一
9、,确定的元素 y 与之对应,则称f 为,从 X 到 Y 的映,(或算子),记作,并称y为x(在映射 f,像,并记作,即,x称为y的,原像.,射,定义域,即,记,下)的,32,X中所有元素的像所组成的集合,记作,或f 的,即,称为,在中学数学中所接触的函数实际是:,实数集(或其子集),到实数集的映射.,例如,映射f :,正弦函数,值域,像集,33,(1),集合X, 即定义域,集合Y, 即值域的范围:,对应法则f ,使对,有唯一确定的,与之对应.,三个要素:,构成一个映射必须具备以下,34,对,元素 x 的像y是唯一的;,而对,元素 y 的原像不一定是唯一的;,映射 f 的值域,是Y 的一个子集,
10、不一定,(2),35,设映射,值域,即Y 中任一元素y 都是X中某,元素的像,则称f 是,满射.,若,必有,则称f 是,单射.,若映射f,则称f 是,一 一 映射,(或双射).,2. 几类重要映射,又是单射,既是满射,36,例,设,对应关系:,既非满射,又非单射;,满射,非单射;,单射,非满射;,满射,单射,即为一一映射.,对定义域内的任一x ,37,(1) 如图,令由X 到Y 的对应关系为,则f 是一个从X 到Y 的映射.,练习,满射,单射,即为一一映射.,38,(2),令,则 f 是一个从X 到Y 的映射.,满射,单射,即为一一映射.,39,3. 逆映射与复合映射,设有单射,则由定义,有唯
11、一的,适合,于是,可定义一,个从,的新映射g,即,规定,这 x 满足,这个映射g称为,f 的逆映射,记作,其定义域,值域,40,设有两个映射,其中,4. 逆映射与复合映射,显然，,由,它将,映成,这个对应法则,此映射称为由g和f 构成的,复合映射,记作,即,对应法则,可确定出从 X到Z 的一个,是从 X到Z 的一个映射,41,例,设有映射,和映射,则映射g和f 构成的复合映射,有,42,1.常量(constant)与变量(variable),三、函数(function),而是相对“过程”而言的.,常量;,变量.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,
12、不是绝对的,43,常量与变量的表示方法:,在高等数学中,通常用字母 a, b, c等表示常量,用字母 x, y, t 等表示变量.,初等数学,就其总体来说是,进入变量的数学 微积分.,“常量的数学”,从现在开始,44,定义,设数集,则称映射,为定义在D上的函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域(domain),定义中,按对应法则f ,总有唯一,确定的值 y 与之对应,这个值称为函数f 在x处的,函数值,记作,函数关系,2. 函数概念,45,函数值,全体组成的集合称为,range,记作,即,函数f 的值域,含义的区别.,自变量x和因变量y之间的对应法则;,与自变量x对应的函数值;,定义在D上的
13、函数,应理解为由它所确定的函数f.,(1),46,(2),函数的记号:,除常用的f 外,可任意选取,如,相应地,函数可记作:,等,等,也可记作:,47,(3),对应的函数值 y 总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是:,单值函数,多值函数.,约定:,今后无特别说明时,函数是指单值函数.,这种函数称为,48,(4),构成函数的,是两个不同的函数.,(因为定义域不同).,如,与对应法则f .,定义域,两个要素:,49,函数的表示法只与定义域和对应法则有关,即,简称函数表示法的,表达式求解,(5),而与用什么字母无关,的有效方法.,无关特性,50,利用函数表示与变量字母无关的特性.,
14、代入原方程得,令,即,两式联立,解,练习,51,利用函数表示与变量字母无关的特性.,代入原方程得,令,即,解,练习,52,代入上式得,令,即,三式联立,53,定义域一般有两种:,(1),自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间.,由问题的实际意义,(2),函数的定义域常用区间来表示,又可称为:,实际问题(几何或物理问题);,在纯数学的研究中 (函数由一个公式,实数组成,这种定义域称为,自然定义域.,表示的).,所确定.,的集合,54,例,求下列函数的定义域:,解,定义域是,55,定义域是,解,56,常用的函数关系表示法,公式法(解析法);,主要有三种形式,表格法.,各种表示法,都有其优点和不
15、足.,图形法;,也可用语言描述.,是多种多样的.,57,公式法(解析法),图形法,表格法,今后以公式法为主,便于进行理论分析和计算;,形象直观,富有启发性,便于记忆;,便于查找函数值, 但它常常是不完全的.,配合使用图形法和表格法.,58,函数的图形(图象),取自变量在横轴上,在平面直角坐标系中,因变量在纵轴上变化,则函数的图形是指,变化,平面点集:,通常是一条或几条,曲线(包括直线).,中的集合,59,例,除了可用一个数学式子表示函数外,有些,分段函数.,这种函数称为,函数关系也不同,函数随着自变量取不同的值,60,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,61,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,62,取整函数,如,例,当,阶梯曲线,定义域,值域,表示不超过x的最大整数,2,-,63,例,狄利克雷(Dirichlet)函数,(x为有理函数),(x为无理函数),定义域,值域,有理数点,无理数点,64,练习,设,2,0,(1) 填空:,65,2. 用分段函数表示函数,分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案:,即,而不是几个函数.,66,有界性 (bounded),设函数y=f(x
